Análisis del rango de una matriz cuyos elementos dependen de un parámetro, por el método de reducción

Me propongo analizar el rango de la siguiente matriz según los valores que tome el parámetro $a \in \mathbb{R}$ $$A=\begin{pmatrix}1&a&-1\\2&-1&a\\1&10&-6\end{pmatrix}$$

Reduciendo de manera escalonada la matriz llegamos a la siguiente matriz equivalente en rango: $$\begin{pmatrix}1&a&-1\\0&-2a-1&2+a\\0&0&\dfrac{(a+5)(a-3)}{2a+1}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&a&-1\\0&-2a-1&2+a\\0&0&(a+5)(a-3)\end{pmatrix}$$

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Operaciones que he realizado entre filas:

• Primera etapa:
  • $-2f_1+f_2\rightarrow f_2$
  • $f_1-f_3\rightarrow f_3$
• Segunda y última etapa:
  • $f_2\cdot \dfrac{a-10}{2a+1}+f_3\rightarrow f_3$; $(2a+1)\,f_3\rightarrow f_3$

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Puede suceder que:

1. Atendiendo a los posibles valores del numerador del elemento de la tercera fila y de la tercera columna, vemos que éste se anula si $a$ es $-5$ o bien es $3$, por lo que la tercera fila sería identicamente nula para dichos valores del parámetro; y, para esos mismos valores, sin embargo, no serían nulos los elementos de la segunda fila, luego el número de filas no indenticamente nulas sería $2$ en este supuesto, con lo cual el rango de la matriz sería $2$.
2. En cualquier otro caso, ninguno de los elementos que dependen del parámetro $a$ se anulará (tanto el de la tercera fila, como los de la segunda), con lo cual el número de filas no identicamente nulas sería $3$, luego el rango de la matriz sería $3$

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