Recta tangente y plano perpendicular a dicha recta en un punto de una curva en $\mathbb{R}^3$, dada ésta en forma vectorial y en función del parámetro de evolución de un punto sobre la misma

La ecuación de una curva en el espacio $\mathbb{R}^3$ puede escribirse de manera vectorial, mediante el vector de posición en cada punto de la curva. Las coordenadas de dicho vector se expresan en función del parámetro de evolución de un punto sobre la curva; en física, éste suele ser el tiempo $t$. Así, se tiene que $$\mathcal{C}:\vec{r(t)}=x(t)\,\hat{i}+y(t)\,\hat{j}+z(t)\,\hat{k}$$ La derivada vectorial de dicho vector de posición respresenta el vector tangente en cada punto de la curva $P$: $$\text{v.t.}:\vec{v(t_P)}:=\left(\dfrac{d\vec{r(t)}}{dt}\right)_P=\dot{x}(t)|_{t=t_P}\hat{i}+\dot{y}(t)|_{t=t_P}\hat{j}+\dot{z}(t)|_{t=t_P}\hat{k}$$ y, en particular, representando el parámetro $t$ el tiempo, dicho vector tangente no es otro que el vector velocidad en cada punto de la curva.

La ecuación de la recta tangente en cada punto de la curva es por tanto $$\text{r.t. en P}:\dfrac{x-x_P}{ \dot{x}(t)|_{t=t_P} }=\dfrac{y-y_P}{ \dot{y}(t)|_{t=t_P} }=\dfrac{z-z_P}{ \dot{z}(t)|_{t=t_P} }$$ Dicha recta tangente tiene que ser perpendicular -en cada punto $P$ de la curva- a un plano (plano normal al vector tangente) cuya ecuación vendra dada por $$\pi_\perp:\dot{x}(t)|_{t=t_P}\cdot(x-x_P)+\dot{y}(t)|_{t=t_P}\cdot(y-y_P)+\dot{z}(t)|_{t=t_P}\cdot(z-z_P)=0$$

Ejemplo:
Consideremos la circunferencia de radio unidad contenida en el plano $Oxy$, $\mathcal{C}:\vec{r(t)}=\cos(t)\,\hat{i}+\sin(t)\,\hat{j}+0\,\hat{k}$. Entonces el vector velocidad (vector tangente) en cada punto de dicha circunferencia es $\mathcal{C}:\vec{v(t)}=-\sin(t)\,\hat{i}+\cos(t)\,\hat{j}+0\,\hat{k}$, luego la ecuación de la recta tangente, pongamos que en el $P(1,0,0)$ que corresponda al valor $t=0$ vendrá dada por $\text{r.t.}:\dfrac{x-1}{-\sin(0)}=\dfrac{y-0}{\cos(0)}=\dfrac{z-0}{0}$, ecuación que expresada en forma cartesiana es $\text{r.t}:x=1$. Y, por otra parte, la ecuación del plano perpendicular a la misma es $\pi_\perp:-\sin(0)\cdot (x-1)+\cos(0)\cdot (y-0)+0=0$, esto es, $\pi_\perp:y=0$, y que, dicho de otra manera, es el plano $Oxz$. $\diamond$