Análisis y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes complejos mediante reducción

Vamos a analizar, y -si procede- resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con coeficientes en el cuerpo de los números complejos: $$\left\{\begin{matrix}x-i\,y&=&2 \\ y+i\,z&=&1+2\,i\\x+y&=&1+i\end{matrix}\right.$$

La matriz de los ecoeficientes es $$A=\begin{pmatrix}1&-i&0\\0&1&i\\1&1&0\end{pmatrix}$$ y la matriz ampliada $$\tilde{A}=\begin{pmatrix}1&-i&0&2\\0&1&i&1+2\,i\\1&1&0&1+i\end{pmatrix}$$ Reduciendo la matriz $\tilde{A}$, restándole a la primera fila la tercera y sustituyendo dicho resultado en la tercera fila; y, a continuación, multiplicando la segunda fila por $1+i$, sumandole los elementos de la tercerca fila, y sustituyendo el resultado en la tercera fila, se comprueba que es equivalente en rango a $\begin{pmatrix}1&-i&0&2\\0&1&i&1+2\,i\\0&0&-1+i&-1\end{pmatrix}$

Teniendo ya escalonada la matriz, es claro que el rango de las matrices $A$ y $\tilde{A}$ coinciden y es igual a $3$ (número de filas no identicamenate nulas), luego el sistema es compatible; además, como dicho rango es igual al númro de incóngitas, la solución es única (sistema compatible determinado). Veamos ahora cuál es dicha solución.

Toda vez que ya tenemos escalonada la matriz ampliada, podemos afirmar que el sistem de ecuaciones equivalente en solución es: $$\left\{\begin{matrix}x&-i\,y&&&=&2 \\ & y&+&i\,z&=&1+2\,i\\&&&(-1+i)\,z&=&-1\end{matrix}\right.$$ De la tercera ecuación, tenemos que $$z=\dfrac{1}{1-i}=\dfrac{1}{1-i}\cdot \dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{1+i}{1-i^2}=\dfrac{1+i}{1-(-1)}=\dfrac{1}{2}\,(1+i)$$ Sustituyendo este resultado en la segunda ecuación y despejando $y$ llegamos a $$y=\dfrac{3}{2}\,(1+i)$$ y sustituyendo a su vez los valores encontrados para $y$ y $z$ en la primera ecuación, al despejar $x$ obtenemos $$x=\dfrac{1}{2}\,(1+3\,i)$$

Nota:
Se puede comprobar que sustituyendo estos valores en cualesquiera de la ecuaciones originales satisfacen las igualdades, como debe ser.

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