Análisis y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes complejos mediante reducción

Vamos a analizar, y -si procede- resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con coeficientes en el cuerpo de los números complejos: $$\left\{\begin{matrix}x-i\,y&=&2 \\ y+i\,z&=&1+2\,i\\x+y&=&1+i\end{matrix}\right.$$

La matriz de los ecoeficientes es $$A=\begin{pmatrix}1&-i&0\\0&1&i\\1&1&0\end{pmatrix}$$ y la matriz ampliada $$\tilde{A}=\begin{pmatrix}1&-i&0&2\\0&1&i&1+2\,i\\1&1&0&1+i\end{pmatrix}$$ Reduciendo la matriz $\tilde{A}$, restándole a la primera fila la tercera y sustituyendo dicho resultado en la tercera fila; y, a continuación, multiplicando la segunda fila por $1+i$, sumandole los elementos de la tercerca fila, y sustituyendo el resultado en la tercera fila, se comprueba que es equivalente en rango a $\begin{pmatrix}1&-i&0&2\\0&1&i&1+2\,i\\0&0&-1+i&-1\end{pmatrix}$

Teniendo ya escalonada la matriz, es claro que el rango de las matrices $A$ y $\tilde{A}$ coinciden y es igual a $3$ (número de filas no identicamenate nulas), luego el sistema es compatible; además, como dicho rango es igual al númro de incóngitas, la solución es única (sistema compatible determinado). Veamos ahora cuál es dicha solución.

Toda vez que ya tenemos escalonada la matriz ampliada, podemos afirmar que el sistem de ecuaciones equivalente en solución es: $$\left\{\begin{matrix}x&-i\,y&&&=&2 \\ & y&+&i\,z&=&1+2\,i\\&&&(-1+i)\,z&=&-1\end{matrix}\right.$$ De la tercera ecuación, tenemos que $$z=\dfrac{1}{1-i}=\dfrac{1}{1-i}\cdot \dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{1+i}{1-i^2}=\dfrac{1+i}{1-(-1)}=\dfrac{1}{2}\,(1+i)$$ Sustituyendo este resultado en la segunda ecuación y despejando $y$ llegamos a $$y=\dfrac{3}{2}\,(1+i)$$ y sustituyendo a su vez los valores encontrados para $y$ y $z$ en la primera ecuación, al despejar $x$ obtenemos $$x=\dfrac{1}{2}\,(1+3\,i)$$

Nota:
Se puede comprobar que sustituyendo estos valores en cualesquiera de la ecuaciones originales satisfacen las igualdades, como debe ser.

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Uso de GNU Octave en la resolución (automática) de sistemas de ecuaciones lineales

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con tres incóngitas $$\left.\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1 \\ x&-&2y&+&3z&=&2 \\ x&+&3y&-&z&=&3\end{matrix}\right\}$$ que en forma matricial puede escribirse de la forma $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$$ La matriz (ampliada) de los coeficientes del sistema es $$A=\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1 \\ 1&-2&3&2 \\ 1&3&-1&3 \end{array}\right) $$

Mediante el uso de la herramienta GNU Octave voy a resolver el sistema escalonando por Gauss la matriz ampliada, con pivotamiento por columnas, obteniendo así una matriz equivalente (en cuanto a la solución del sistema) de tipo triangular superior $U$ tal que $U^{\top}U=A$. Con Octave es tan cómodo como hacer los siguiente:

  >> A=([1,1,1,1;1,-2,3,2;1,3,-1,3])
  >> U=rref(A)
  U =

   1   0   0   8
   0   1   0  -3
   0   0   1  -4 
  

esto es, la matriz $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&0&8 \\ 0&1&0&-3 \\ 0&0&1&-4 \end{array}\right) $$ Así, un sistema equivalente en solución es $$\left.\begin{matrix}x&&&&&=&8 \\ &&y&&&=&-3 \\ &&&&z&=&-4\end{matrix}\right\}$$ que nos da directamente la solución.

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Referencias

[1] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers (Manual de GNU Octave), https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf

Un ejercicio de aplicación de la factorización de Doolittle a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado

Se quiere resolver el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{ \begin{matrix}x_1&-&x_2&&&=&4\\ x_1&+&x_2&+&x_3&=&3 \\ x_1&&&-&x_3&=&2 \end{matrix}\right.$$

Escribamos el sistema en forma matricial $$\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}$$ Expresado así, $Ax=b$, donde $x=(x_1,x_2,x_3)^\top$, $b=(4,3,2)^\top$ y $A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}$, vamos a factorizar la matriz $A$ (que es regular) de la forma $A=LU$ por el método de Doolittle, donde $L$ es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal principal, y $U$ es una matriz triangular superior.

Al obtener $A=LU$, el sistema de ecuacione puede escribirse de la forma $LUX=B$, esto es, $L(UX)=b$. Denotando $UX=Y$, la resolución constará de los siguientes pasos:

1. Resolveremos $LY=b$ para determinar el vector $Y=(y_1\,y_2\,y_3)^\top$
2. Una vez conocido $Y$, resolveremos $Ux=X$ para determinar $X=(x_1\,x_2\,x_3)^\top$

Cálculo de las matrices $L$ y $U$

De acuerdo con el m. de Doolittle, la matriz triangular inferior es de la forma $L=\begin{pmatrix}1&0&0\\ \ell_{21}&1&0\\\ell_{31}&\ell_{32}&1\end{pmatrix}$ y la matriz triangular superior es $U=\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\ 0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{pmatrix}$. Entonces, como $$\begin{pmatrix}1&0&0\\ \ell_{21}&1&0\\\ell_{31}&\ell_{32}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\ 0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}$$ por la definición de producto de matrices se tiene que
  $a_{11}=1=u_{11}$
  $a_{21}=1=\ell_{21}\,u_{11}=\ell_{21}\cdot 1\Rightarrow \ell_{21}=1$
  $a_{31}=1=\ell_{31}\,u_{11}=\ell_{31}\cdot 1\Rightarrow \ell_{31}=1$

  $a_{12}=-1=u_{12}$
  $a_{22}=1=\ell_{21}\,u_{12}+u_{22}=1\cdot (-1)+u_{22}\Rightarrow u_{22}=2$
  $a_{32}=0=\ell_{31}\,u_{12}=\ell_{32}\,u_{22}=1\cdot (-1)+\ell_{32}\cdot 2\Rightarrow \ell_{32}=\frac{1}{2}$

  $a_{13}=0=u_{13}$
  $a_{23}=1=\ell_{21}\,u_{13}+u_{23}=0+u_{23}\Rightarrow u_{23}=1$
  $a_{33}=-1=\ell_{31}\,u_{13}+\ell_{32}\,u_{23}+u_{33} =0+\ell_{32}\cdot 1+u_{33} \Rightarrow u_{33}=-\frac{3}{2}$

Por tanto $L=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&1&0\\1&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}$ y $U=\begin{pmatrix}1&-1&0\\ 0&2&1\\0&0&-\frac{3}{2}\end{pmatrix}$

Abordamos ahora el primer paso, resolviendo $LY=B$

Escribiendo el sistema de ecuaciones, $\left\{ \begin{matrix}y_1&&&&&=&4\\ y_1&+&y_2&&&=&3 \\ y_1&+&\frac{1}{2}\,y_2&+&y_3&=&2 \end{matrix}\right.$, encontramos fácilmente $y_1=4$, $y_2=-1$ y $y_3=-\frac{3}{2}$

Abordamos finalmente el segundo paso, resolviendo $UX=Y$

Escribiendo el sistema de ecuaciones, $\left\{ \begin{matrix}x_1&-&x_2&&&=&4\\ &&2x_2&+&x_3&=&-1 \\ &&&&-\frac{3}{2}x_3&=&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$, de donde $x_1=3$, $x_2=-1$ y $x_3=1$.

Algoritmo de Doolittle

Arriba hemos realizado las operaciones paso a paso, si bien con un poco de paciencia podemos inducir las expresiones matemáticas que dan valor a los elementos de $L$ y $U$ en el caso general de tener que factorizar una matriz $A$ de orden $n$; esto lo podemos hacer partiendo de las regularidades que encontraremos para matrices de orden $3$. Obtendremos así lo que podemos entender como el algoritmo que cómodamente implementaremos mediante un lenguaje de programación, y, así, automatizaremos los cálculos. Se puede comprobar que:

• $u_{1j}=a_{1j}$ si $i=1$ y para $j=1,\ldots,n$
• $\ell_{i1}=\dfrac{a_{i1}}{u_{11}}$ si $j=1$ y para $i=2,\ldots,n$
• $\ell_{ij}=\dfrac{a_{ij}-\displaystyle \sum_{k=1}^{j-1}\,\ell_{ik}\,u_{kj}}{u_{jj}}$ si $i\gt j$ para $i=2,\ldots,n$
• $u_{ij}=\dfrac{a_{ij}-\displaystyle \sum_{k=1}^{i-1}\,\ell_{ik}\,u_{kj}}{u_{jj}}$ si $i\le j$ para $j=2,\ldots,n$

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Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado utilizando R

En este breve artículo voy a mostraros cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado utilizando el programa de cálculo R, que se emplea en análisis numérico matricial y, especialmente, en estadística y probabilidad. Veamos el siguiente ejemplo: $$\left\{\begin{matrix}x+y+z=1\\x-y+z=0\\x-y-z=2\end{matrix}\right.$$ Este sistema de ecuaciones podemos escribirlo en forma matricial $$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\ 1&-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$$ Una vez identicados los elementos de la matriz de los coeficientes del sistema y los de la matriz de los términos independientes, basta utilizar las siguientes instrucciones de R

para obtener la solución:

esto es: $$x=\dfrac{3}{2}, y=\dfrac{1}{2}, z=-1$$

Un procedimiento básico para resolver sistemas de ecuaciones lineales con MAXIMA