Un ejercicio de aplicación de la factorización de Doolittle a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado

Se quiere resolver el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{ \begin{matrix}x_1&-&x_2&&&=&4\\ x_1&+&x_2&+&x_3&=&3 \\ x_1&&&-&x_3&=&2 \end{matrix}\right.$$

Escribamos el sistema en forma matricial $$\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}$$ Expresado así, $Ax=b$, donde $x=(x_1,x_2,x_3)^\top$, $b=(4,3,2)^\top$ y $A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}$, vamos a factorizar la matriz $A$ (que es regular) de la forma $A=LU$ por el método de Doolittle, donde $L$ es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal principal, y $U$ es una matriz triangular superior.

Al obtener $A=LU$, el sistema de ecuacione puede escribirse de la forma $LUX=B$, esto es, $L(UX)=b$. Denotando $UX=Y$, la resolución constará de los siguientes pasos:

1. Resolveremos $LY=b$ para determinar el vector $Y=(y_1\,y_2\,y_3)^\top$
2. Una vez conocido $Y$, resolveremos $Ux=X$ para determinar $X=(x_1\,x_2\,x_3)^\top$

Cálculo de las matrices $L$ y $U$

De acuerdo con el m. de Doolittle, la matriz triangular inferior es de la forma $L=\begin{pmatrix}1&0&0\\ \ell_{21}&1&0\\\ell_{31}&\ell_{32}&1\end{pmatrix}$ y la matriz triangular superior es $U=\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\ 0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{pmatrix}$. Entonces, como $$\begin{pmatrix}1&0&0\\ \ell_{21}&1&0\\\ell_{31}&\ell_{32}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\ 0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}$$ por la definición de producto de matrices se tiene que
  $a_{11}=1=u_{11}$
  $a_{21}=1=\ell_{21}\,u_{11}=\ell_{21}\cdot 1\Rightarrow \ell_{21}=1$
  $a_{31}=1=\ell_{31}\,u_{11}=\ell_{31}\cdot 1\Rightarrow \ell_{31}=1$

  $a_{12}=-1=u_{12}$
  $a_{22}=1=\ell_{21}\,u_{12}+u_{22}=1\cdot (-1)+u_{22}\Rightarrow u_{22}=2$
  $a_{32}=0=\ell_{31}\,u_{12}=\ell_{32}\,u_{22}=1\cdot (-1)+\ell_{32}\cdot 2\Rightarrow \ell_{32}=\frac{1}{2}$

  $a_{13}=0=u_{13}$
  $a_{23}=1=\ell_{21}\,u_{13}+u_{23}=0+u_{23}\Rightarrow u_{23}=1$
  $a_{33}=-1=\ell_{31}\,u_{13}+\ell_{32}\,u_{23}+u_{33} =0+\ell_{32}\cdot 1+u_{33} \Rightarrow u_{33}=-\frac{3}{2}$

Por tanto $L=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&1&0\\1&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}$ y $U=\begin{pmatrix}1&-1&0\\ 0&2&1\\0&0&-\frac{3}{2}\end{pmatrix}$

Abordamos ahora el primer paso, resolviendo $LY=B$

Escribiendo el sistema de ecuaciones, $\left\{ \begin{matrix}y_1&&&&&=&4\\ y_1&+&y_2&&&=&3 \\ y_1&+&\frac{1}{2}\,y_2&+&y_3&=&2 \end{matrix}\right.$, encontramos fácilmente $y_1=4$, $y_2=-1$ y $y_3=-\frac{3}{2}$

Abordamos finalmente el segundo paso, resolviendo $UX=Y$

Escribiendo el sistema de ecuaciones, $\left\{ \begin{matrix}x_1&-&x_2&&&=&4\\ &&2x_2&+&x_3&=&-1 \\ &&&&-\frac{3}{2}x_3&=&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$, de donde $x_1=3$, $x_2=-1$ y $x_3=1$.

Algoritmo de Doolittle

Arriba hemos realizado las operaciones paso a paso, si bien con un poco de paciencia podemos inducir las expresiones matemáticas que dan valor a los elementos de $L$ y $U$ en el caso general de tener que factorizar una matriz $A$ de orden $n$; esto lo podemos hacer partiendo de las regularidades que encontraremos para matrices de orden $3$. Obtendremos así lo que podemos entender como el algoritmo que cómodamente implementaremos mediante un lenguaje de programación, y, así, automatizaremos los cálculos. Se puede comprobar que:

• $u_{1j}=a_{1j}$ si $i=1$ y para $j=1,\ldots,n$
• $\ell_{i1}=\dfrac{a_{i1}}{u_{11}}$ si $j=1$ y para $i=2,\ldots,n$
• $\ell_{ij}=\dfrac{a_{ij}-\displaystyle \sum_{k=1}^{j-1}\,\ell_{ik}\,u_{kj}}{u_{jj}}$ si $i\gt j$ para $i=2,\ldots,n$
• $u_{ij}=\dfrac{a_{ij}-\displaystyle \sum_{k=1}^{i-1}\,\ell_{ik}\,u_{kj}}{u_{jj}}$ si $i\le j$ para $j=2,\ldots,n$

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