Las matrices de permutación y los métodos de reducción con pivotaje

Las matrices de permutación permiten formalizar los procedimientos de pivotaje en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Tal como ya se ha comentado en otros artículos, el pivotaje puede ser parcial (p. maximal por columnas) —en el que solamente se permutan filas de una matriz o de un sistema de ecuaciones lineales— o bien p. total (o p. completo) —en el que se permutan filas (entre el conjunto de las mismas), y también columnas (entre el conjunto de columnas)—. En este breve artículo hablaré de las operaciones de permutación maximal por columnas, que ilustraré con un sencillo ejemplo, aprovechándolo para mostrar cómo podemos utilizar esta operación para formalizar la resolución de un sistema de ecuaciones lineales en el que intercambiaremos (permutaremos) dos de sus filas.

Matrices de permutación en la pivotación maximal por columnas

Denominamos matriz de permutación a una matriz cuadrada $P$ formada a partir de la alteración del orden de las filas de la matriz identidad $I$ tal que al multiplicar por la izquierda a una matriz cuadrada del mismo orden $A$ permuta sus filas convenientemente. Así, por ejemplo, dada la matriz $A=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&2&3\\4&-1&1\end{pmatrix}$ para intercambiar la primera y la tecera filas —siendo $I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ la matriz identidad del orden de la matriz dada— realizaremos el producto de $P=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$ —notemos que intercambiamos las filas primera y tercera de la matriz identidad; las mismas que queremos inteercambiar en la matriz $A$— por la matriz $A$ por la izquierda: $PA=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&2\\1&2&3\\4&-1&1\end{pmatrix}$ obteniendo como resultado la matriz pedida (con las filas primera y tercera permutadas): $\begin{pmatrix}4&-1&1\\1&2&3\\0&1&2\end{pmatrix}$.

Aplicación de las matrices de permutación para la técnica de pivotaje maximal por columnas (p. parcial) en la resolución gaussiana de un sistema de ecuaciones lineales

Consideremos ahora el sistema de ecuacions lineales $$\left\{\begin{matrix} &&x_2&+&2x_3&=&1 \\ x_1&+&2x_2&+&3x_3&=&0 \\ 4x_1&-&x_2&+&x_3&=&0 \\ \end{matrix}\right.$$ que podemos expresar matricialmente de la forma $AX=B \quad (1)$, donde $A=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&2&3\\4&-1&1\end{pmatrix}$ es la matriz de los coeficientes del sistema; $X=(x_1\,x_2\,x_3)^\top$ es la matriz columna de las incógnitas, y $B=(1\,0\,0)^\top$ es la matriz columna de los términos independientes.

Para reducir el sistema por el método de Gauss, nos interesa permutar la primera ecuación con alguna de las otras dos, habida cuenta de que el coeficiente de la primera incógnita de la primera ecuación es $0$. Para ello, debemos elegir el elemento pivote de la primera columna, que, como norma general, escogemos el elemento máximo de la misma; por lo tanto, en el caso que nos ocupa, intercambiaremos (permutaremos) la primera y la tercera filas. Expresado en forma matricial esto se va a traducir en multiplicar por la matriz de permutación correspondiente por la izquierda a ambos miembros de (1), así que escribiremos el sistema equivalente $PAX=PB$, esto es $$\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&2\\1&2&3\\4&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$ y realizando las operaciones de multiplicación de matrices llegamos a $$\begin{pmatrix}4&-1&1\\1&2&3\\0&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$ Es decir, las ecuaciones del sistema equivalente quedan ahora en el siguiente orden $$\left\{\begin{matrix} 4x_1&-&x_2&+&x_3&=&0 \\ x_1&+&2x_2&+&3x_3&=&0 \\ &&x_2&+&2x_3&=&1 \\ \end{matrix}\right.$$ Podemos ahora realizar ya los pasos de reducción por Gauss: de $-\frac{1}{4}\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$ obtenemos el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix} 4x_1&-&x_2&+&x_3&=&0 \\ &&9x_2&+&11x_3&=&0 \\ &&x_2&+&2x_3&=&1 \\ \end{matrix}\right.$$ y, finalmente, mediante la operación elemental (entre la segunda fila y la tercera del paso anterior) $-\frac{1}{9}\,e_1+e_3 \rightarrow e_3$ llegamos a $$\left\{\begin{matrix} 4x_1&-&x_2&+&x_3&=&0 \\ &&9x_2&+&11x_3&=&0 \\ &&&&\frac{7}{9}x_3&=&1 \\ \end{matrix}\right.$$ por lo que, despejando la tercera incóngita de la tercera ecuación, y sustituyendo regresivamente a las ecuaciones segunda y primera, obtenemos la solución: $x_1=-\dfrac{5}{7}$, $x_2=-\dfrac{11}{7}$ y $x_3=\dfrac{9}{7}$.

En ulteriores artículos mostraré cómo intervienen las matrices de permutación en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales en el caso de optar por los métodos de factorización $LU$ de la matriz de los coeficientes del sistema.

Conviene tener en cuenta que toda matriz de permutación $P$ es simétrica: $P=P^\top$; y ortogonal: $P^{-1}=P^\top$, como puede demostrarse sin dificultad. Estas propiedades de las matrices de permutación facilitan la realización de determinados cálculos, tal y como veremos más adelante en este contexto de los métodos de reducción con pivotaje.$\diamond$