Se quiere resolver el sistema de ecuaciones lineales \left\{ \begin{matrix}x_1&-&x_2&&&=&4\\ x_1&+&x_2&+&x_3&=&3 \\ x_1&&&-&x_3&=&2 \end{matrix}\right., que en otro artículo ya había sido resuelto por el método de Doolittle. Ahora vamos a resolverlo por el método de Crout.
Escribamos el sistema en forma matricial \begin{pmatrix}1&-1&0\\1&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix} Expresado así, AX=B, donde X=(x_1\,x_2\,x_3)^\top, b=(4\,3\,2)^\top y A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}, vamos a factorizar la matriz A (que es regular) de la forma A=LU por el método de Crout, donde L es una matriz triangular inferior, y U es una matriz triangular superior con unos en la diagonal principal —recordemos que los unos en la digonal principal estaban en la matriz L en el método de Doolittle—.
Al obtener A=LU, el sistema de ecuacione puede escribirse de la forma LUX=B, esto es, L(UX)=b. Denotando UX=Y, la resolución constará de los siguientes pasos:
- Resolveremos LY=B para determinar el vector Y=(y_1\,y_2\,y_3)^\top
- Una vez conocido Y, resolveremos finalmente UX=Y para determinar el vector X=(x_1\,x_2\,x_3)^\top
Cálculo de las matrices L y U
De acuerdo con el m. de Crout, la matriz triangular inferior es de la forma L=\begin{pmatrix}\ell_{11}&0&0\\ \ell_{21}&\ell_{22}&0\\\ell_{31}&\ell_{32}&\ell_{33}\end{pmatrix} y la matriz triangular superior es U=\begin{pmatrix}1&u_{12}&u_{13}\\ 0&1&u_{23}\\0&0&1\end{pmatrix}. Entonces, como \begin{pmatrix}\ell_{11}&0&0\\ \ell_{21}&\ell_{22}&0\\\ell_{31}&\ell_{32}&\ell_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&u_{12}&u_{13}\\ 0&1&u_{23}\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix} por la definición de producto de matrices se tiene quea_{11}=1=\ell_{11}
a_{21}=1=\ell_{21}
a_{31}=1=\ell_{31}
a_{12}=-1=\ell_{11}\,u_{12}=1\cdot u_{12}\Rightarrow u_{12}=-1
a_{22}=1=\ell_{21}\,u_{12}+1\cdot \ell_{22}=1\cdot u_{12}+\ell_{22}=-1+\ell_{22}\Rightarrow \ell_{22}=2
a_{32}=0=\ell_{31}\,u_{12}=\ell_{32}\,u_{12}+1\cdot \ell_{32}=1\cdot (-1)+\ell_{32}\Rightarrow \ell_{32}=1
a_{13}=0=\ell_{11}\,u_{13}=1\cdot u_{13}\Rightarrow u_{13}=0
a_{23}=1=\ell_{21}\,u_{13}+\ell_{22}\,u_{23}=0+\ell_{22}\,u_{23}=0+2u_{23}\Rightarrow u_{33}=\frac{1}{2}
a_{33}=-1=\ell_{31}\,u_{13}+\ell_{32}\,u_{23}+1 \cdot \ell_{33}=1 \cdot 0+1\cdot u_{23}+\ell_{33}=\frac{1}{2}+\ell_{33} \Rightarrow \ell_{33}=-\frac{3}{2}
Por tanto L=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&2&0\\1&1&-\frac{3}{2}\end{pmatrix} y U=\begin{pmatrix}1&-1&0\\ 0&1&\frac{1}{2}\\0&0&1\end{pmatrix}
Abordamos ahora el primer paso, resolviendo LY=B
Escribiendo el sistema de ecuaciones, \left\{ \begin{matrix}y_1&&&&&=&4\\ y_1&+&y_2&&&=&3 \\ y_1&+&\frac{1}{2}\,y_2&+&y_3&=&2 \end{matrix}\right., encontramos fácilmente y_1=4, y_2=-1 y y_3=-\frac{3}{2}Abordamos finalmente el segundo paso, resolviendo UX=Y
Escribiendo el sistema de ecuaciones, \left\{ \begin{matrix}x_1&-&x_2&&&=&4\\ &&2x_2&+&x_3&=&-1 \\ &&&&-\frac{3}{2}x_3&=&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right., de donde x_1=3, x_2=-1 y x_3=1.
Algoritmo de Crout
Arriba hemos realizado las operaciones paso a paso, si bien con un poco de paciencia podemos inducir las expresiones matemáticas que dan valor a los elementos de L y U en el caso general de tener que factorizar una matriz A de orden n; esto lo podemos hacer partiendo de las regularidades que encontraremos para matrices de orden 3. Obtendremos así lo que podemos entender como el algoritmo que cómodamente implementaremos mediante un lenguaje de programación, y, así, automatizaremos los cálculos. Se puede comprobar que:- \ell_{i1}=a_{i1} si j=1 para i=1,\ldots,n
- u_{1j}=\dfrac{a_{1j}}{a_{11}} si i=1 para j=2\,\ldots,n
- u_{ij}=\dfrac{a_{ij}-\displaystyle \sum_{k=1}^{j-1}\,\ell_{ik}\,u_{kj}}{\ell_{ii}} si i\lt j para i=2,\ldots,n
- \ell_{ij}=\dfrac{a_{ij}-\displaystyle \sum_{k=1}^{i-1}\,\ell_{ik}\,u_{kj}}{u_{jj}} si i\ge j para j=2,\ldots,n
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