Métodos gaussianos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales $AX=B$. Acerca de cómo minimizar errores de redondeo: técnicas de pivotaje parcial y total

Al utilizar los métodos de reducción (m. gaussianos) —m. de Gauss, y m. de Gauss-Jordan— y se llegue a obtener algún elemento pivote nulo, $a_{ii}^{\ast}=0$, es claro que será necesario intercambiar ecuaciones (véase [1], pp. 165-166). También deberá hacerse eso cuando, los elementos de la diagonal sean números próximos a cero, para evitar la amplificación de los múltiples errores de redondeo —utilizando, claro está, un número de dígitos limitado— (véase [2], pp. 79-81). Para todos estos casos, habrá que elegir siempre como pivote el mayor elemento en valor absoluto de la columna que va a reducirse. Hay dos técnicas de pivotaje:

• Pivotaje parcial (o pivotaje maximal por columnas): Esta técnica consiste en seleccionar como elemento pivote el elemento de la columna implicada que esté por debajo de la diagonal y tenga el mayor valor absoluto, para, en el caso de ser necesario, intercambiar las ecuaciones antes de efectuar la operación de reducción.
• Pivotaje total (o pivotaje completo): Esta otra técnica consiste en seleccionar como elemento pivote el elemento máximo, intercambiando no sólo las ecuaciones sino también las incógnitas que sean necesarias antes de efectuar la operación de reducción.$\diamond$

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Referencias:
[1] F. García y A. Nevot, Ejercicios resueltos de cálculo numérico (Paraninfo, Madrid, 1992).
[2] J.C. Mason, Métodos matriciales (Anaya, Madrid, 1986).