Una base del espacio vectorial $\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$

Se considera el espacio vectorial $\mathcal{M}_{2\times 2}$ sobre el cuerpo $\mathbb{R}$. ¿Es el siguiente conjunto de matrices una base de dicho espacio vectorial? $$\left\{ \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\right\}$$

La dimensión del espacio vectorial $\mathcal{M}_{2\times 2}$ es $2\cdot 2=4$, luego todo sistema de generadores ha de tener al menos $4$ vectores linealmente independientes; y, como toda base es un sistema de generadores mínimo, el conjunto propuesto es candidato a ser una base. Veamos si los elementos dados son linealmente independientes. Para ello, sabemos que una combinación lineal de los mismos que exprese el elemento nulo. $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$, debe ser tal que los coeficientes de dicha combinación lineal, $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ sean todos nulos. Planteemoslo:

$$a\,\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}+b\,\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}+c\,\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}+d\,\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} $$ luego el sistema de ecuaciones lineales asociado es un sistema homogéneo, $$\left\{\begin{matrix}a+c+d=0\\b+c+d=0\\a+b+d=0\\a+b+c=0\end{matrix}\right.$$ La matriz de los coeficientes es $$A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ y la matriz ampliada, $$\tilde{A}=\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right) $$ Al ser nulos los elementos de la quinta columna, es claro que $\text{rango}(\tilde{A})=\text{rango}{A}\le 4$; y, por otra parte, se puede comprobar que $\text{det}(A)\neq 0$, luego $\text{rango}(\tilde{A})=\text{rango}{A} = 4$, que es igual al número de incógnitas ($n=4$), por consiguiente, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado (solución única), y, siendo homogéneo, ésta es $a=b=c=d=0$. En consecuencia, los cuatro elementos propuestos del sistema de generadores son linealmente independientes, y siendo éste mínimo (el número de los mismos es igual a la dimensión del espacio vectorial), constituyen una base del mismo.

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