Consideremos una curva $\mathcal{C}$ en $\mathbb{R}^3$ que viene dada por la intersección de dos superficies $F_1(x,y,z)=0$ y $F_2(x,y,z)=0$. A partir de estas ecuaciones, que se suponen dadas, voy a determinar la ecuación de la rectan tangente a dicha curva y también la el plano perpendicular (normal) a la misma en un punto $P$ de dicha curva.
Escribiendo la diferencial de $(1)$ y de $(2)$, $$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x}\cdot \dot{x}(t)+\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y}\cdot \dot{y}(t)+\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z}\cdot \dot{z}(t)=0 \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x}\cdot \dot{x}(t)+\dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y}\cdot \dot{y}(t)+\dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\cdot \dot{z}(t)=0 \end{matrix}\right.$$ que podemos escribir de la forma, $$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x}\cdot \dot{x}(t)=-\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y}\cdot \dot{y}(t)-\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z}\cdot \dot{z}(t) \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x}\cdot \dot{x}(t)=-\dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y}\cdot \dot{y}(t)-\dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\cdot \dot{z}(t) \end{matrix}\right.$$ y expresado en forma matricial se puede escribir de la forma $$\begin{pmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z} \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}\dot{y}(t)\\\dot{z}(t)\end{pmatrix}=-\dot{x}(t)\,\begin{pmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x}\end{pmatrix}$$ Entonces, $$\dot{y}(t)=-\dot{x}(t)\cdot\dfrac{\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix}}$$ y $$\dot{z}(t)=-\dot{x}(t)\cdot\dfrac{\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix}}$$ y siendo un vector tangente a un punto genérico de la recta, $$\vec{v(t)}:=(\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z(t)})$$ lo podemos escribir como $$\vec{v(t)}=\left(\dot{x}(t)\,,\,-\dot{x}(t)\cdot \dfrac{\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix}} \,,\, -\dot{x}(t)\cdot\dfrac{\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix}} \right)$$ es decir, $$\vec{v(t)}=\dot{x}(t) \left(1\,,\, -\dfrac{\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix}} \,,\, -\dfrac{\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix}} \right)$$ y que es proporcional a $$\dot{x}(t) \cdot \left( \begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix} \,,\, -\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix} \,,\, -\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x}\end{vmatrix} \right)$$ y por tanto, también a $$ \left( \begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix} \,,\, -\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix} \,,\, -\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x}\end{vmatrix} \right)$$
Así pues, la ecuación de la recta tangente en forma continua en un punto $P$ de la curva $\mathcal{C}$ queda de la forma: $$\dfrac{x-x_P}{\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix}} = \dfrac{y-y_P}{ -\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix} } = \dfrac{z-z_P}{-\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x}\end{vmatrix}} $$
Por consiguiente, la ecuación del plano perpendicular (normal) a la recta tangente en el punto $P$ de la curva $\mathcal{C}$ tendrá por ecuación, $$\pi_\perp:\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix}\cdot (x-x_P) -\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,z} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,z}\end{vmatrix}\cdot (y-y_P) -\begin{vmatrix}\dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_1}{\partial\,x} \\ \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,y} & \dfrac{\partial\,F_2}{\partial\,x}\end{vmatrix}\cdot (z-z_P)=0 $$ $\diamond$
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