Cálculo de una integral de línea

Consideremos la siguiente curva, $\mathcal{C}$, en $\mathbb{R}^3$ que viene dada en forma paramétrica $$\left.\begin{matrix}x&=&2\,t\\y&=& t^2+1\\z&=&t^3\end{matrix}\right\}\,\forall\,t\in\mathbb{R}$$y sea el vector $\vec{v}=2xy^{2}z\,\hat{i}+(x-2y-z)\hat{j}+5x^{2}z\,\hat{k}$, donde $\hat{i}, \hat{j}$ y $\hat{k}$ son los vectores de la base canónica estándar (versores). Nos proponemos calcular la integral de línea $\displaystyle \int_{\mathcal{C}}\,\langle\vec{v}\,,\,d\vec{r}\rangle$ entre los puntos $P_i\,(0,1,0)$ y $P_f\,(2,2,1)$

Siendo $\vec{r}:=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}+z\,\hat{k}=2t\,\hat{i}+(t^2+1)\,\hat{j}+t^3\,\hat{k}$ el vector de posición de un punto genérico de la curva $\mathcal{C}$, se tiene que, diferenciando con respecto de $t$, $d\vec{r}=2\,\hat{i}+(2t+1)\,\hat{j}+3t^2\,\hat{k}$

Por otra parte,
$\vec{v}=2\,(2t)\,(t^2+1)^2\,\hat{i}+(2t-2(t^2+1)-t^3)\,\hat{j}+5\,(2t)^{2}\,t^3\,\hat{k}$
  $=4t^4(t^2+1)^2\,\hat{i}+(-t^3-2t^2+2t-2)\,\hat{j}+20t^5\,\hat{k}$

Así pues,
$\displaystyle \int_{\mathcal{C}}\,\langle\vec{v}\,,\,d\vec{r}\rangle=$   $\displaystyle \int_{t_i}^{t_f}\,\langle (4t^4(t^2+1)^2\,,\,(-t^3-2t^2+2t-2)\,,\,20t^5)\,,\,(2\,,\,(2t+1)\,,\,3t^2) \rangle\,dt$
    $\displaystyle \int_{t_i}^{t_f}\,(8t^8+60t^7+16t^6+6t^4-4t^3+4t^2-4t)\,dt \quad (1)$

Calculemos los valores de $t_i$ y $t_f$: Para $P_i\,(0,1,0)$ se tiene que $\left.\begin{matrix}0&=&2\,t\\1&=& t^2+1\\0&=&t^3\end{matrix}\right\} \Leftrightarrow t_i=0$ y para Para $P_f\,(2,2,1)$ se tiene que $\left.\begin{matrix}2&=&2\,t\\2&=& t^2+1\\1&=&t^3\end{matrix}\right\} \Leftrightarrow t_f=1$

En consecuencia, de $(1)$, $\displaystyle \int_{\mathcal{C}}\,\langle\vec{v}\,,\,d\vec{r}\rangle=\displaystyle \int_{0}^{1}\,(8t^8+60t^7+16t^6+6t^4-4t^3+4t^2-4t)\,dt=\dfrac{6\,431}{630}\quad \diamond$