Longitud de un arco de cicloide entre dos valores dados del parámetro de evolución de la curva

Como es bien sabido, cuando un disco circular rueda sin deslizar a lo largo de una recta, un punto de su contorno describe una curva cicloide. El radio del disco es la unidad, y el disco rueda a lo largo del eje Ox, siendo las ecuaciones paramétricas de la curva cicloide: $\mathcal{C}:\vec{r(t)}=\left\{\begin{matrix}x(t)=t-\sin(t)\\y(t)=1-\cos(t)\end{matrix}\right.$ . Pues bien, en este ejercicio voy a calcular la longitud de la curva cicloide que corresponde a un giro completo del disco.

La longitud pedida (longitd de arco), $s(t)$, es $$\displaystyle s(t)=\int_{t_i}^{t_f}\,\|\dfrac{d}{dt}\,(\vec{r(t)})\|\,dt \quad (1)$$ Al derivar las ecuaciones paramétricas (con respecto del parámetro $t$) se obtiene $$\displaystyle \dfrac{d}{dt}\,(\vec{r(t)})=\left(\dot{(t-\sin(t))}\,,\,\dot{(1-\cos(t))}\right)=(1-\cos(t)\,,\,\sin(t))$$ por tanto $$\displaystyle \|\dfrac{d}{dt}\,(\vec{r(t)})\|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin^2(t)}=2\,(1-\cos(t))$$

Así pues, de $(1)$, en un giro completo $t_i=0$ y $t_f=2\,pi$, luego
  $\displaystyle s_{\text{primera vuelta}}=\int_{0}^{2\pi}\,\sqrt{2\,(1-\cos(t))}\,dt=\sqrt{2}\,\int_{0}^{2\pi}\,\sqrt{1-\cos(t)}\,dt=2\,I$ donde $\displaystyle I=\int_{0}^{2\pi}\,\sqrt{1-\cos(t)}\,dt$

Para calcular $I$, podemos ensayar el cambio de variable $t=2\,u$, por lo que $dt=2\,du$; y, si $t=0$, $u=0$, y para $t=2\pi$, se tiene que $u=\pi$. Así, $I=\displaystyle \sqrt{2}\,\int_{0}^{\pi}\,\sqrt{1-\cos(2u)}\,du=\sqrt{2}\,J$, donde $J=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\,\sqrt{1-\cos(2u)}\,du$. Para calcular $J$, tengamos en cuenta la identidad $\sin^2\,(u)=\dfrac{1-\cos(2u)}{2}$, con lo cual $1-\cos(2u)=2\,\sin^2\,(u)$ por tanto,
  $J=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\,\sqrt{2}\,\sqrt{\sin^2\,(u)}\,du=\int_{0}^{\pi}\,\sqrt{2}\,\sin\,(u)\,du$
    $\displaystyle=\sqrt{2}\,\int_{0}^{\pi}\,\sin\,(u)\,du=\sqrt{2}\,(-\cos(\pi)-(-\cos(0)))=\sqrt{2}\,\left(-(-1)-(-1)\right)=2\,\sqrt{2}$
luego $I=\sqrt{2}\cdot 2\,\sqrt{2}=4$ y por tanto $$s_{\text{primera vuelta}}=4\,\sqrt{2}\,\text{unidades de longitud}$$

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