Un ejercicio en el que se busca la matriz de una aplicación lineal

En este ejercicio me propongo encontrar la matriz, con respecto a las bases canónicas del espacio vectorial de partida y el de llegada, que corresponde a la aplicación lineal $f:V_4(\mathbb{R}) \rightarrow V_3(\mathbb{R})$, tal que: $$i) \quad f((1,1,0,0)^\top=(1,0,0)^\top$$ $$ii) \quad f((0,1,1,0)^\top=(0,1,0)^\top$$ $$iii) \quad f((0,0,1,1)^\top=(0,0,1)^\top$$ $$iv) \quad f((0,0,0,1)^\top=(0,0,1)^\top$$

Como la dimensión del espacio vectorial de llegada es $3$ y el de partida es $4$, la matriz de la aplicación lineal es $A_{3 \times 4}$, esto es $$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{pmatrix}$$

Por la condición $(i)$ se tiene que $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{11}+a_{12}=1 \\ a_{21}+a_{22}=0 \\ a_{31}+a_{32}=0 \end{matrix}\right. \quad (1)$$

Por la condición $(ii)$ se tiene que $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{12}+a_{13}=0 \\ a_{22}+a_{23}=1 \\ a_{32}+a_{33}=0 \end{matrix}\right. \quad (2)$$

Por la condición $(iii)$ se tiene que $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{13}+a_{14}=0 \\ a_{23}+a_{24}=0 \\ a_{33}+a_{34}=1 \end{matrix}\right. \quad (3)$$

Y, por la condición $(iv)$, $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{14}=0 \\ a_{24}=0 \\ a_{34}=1 \end{matrix}\right. \quad (4)$$

Sustituyendo $(4)$ en $(3)$ obtenemos $a_{13}=a_{23}=a_{33}=0$

Sustituyendo todos estos resultados en $(2)$ obtenemos $a_{12}=0$ y $a_{22}=1$

Y, finalmente, sustituyendo lo encontrado hasta ahora en $(1)$ obtenemos $a_{11}=1$, $a_{21}=-1$ y $a_{31}=0$

Así pues concluimos que $$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$\diamond$

Obtención de los vectores de la base con respecto de la cual una cierta matriz es diagonal, dada la matriz de paso (del cambio de base)

Se considera una matriz $A$, asociada al correspondiente endomorfismo de $\mathbb{R}^3$, cuyos coeficientes vienen dados con respecto a la base canónica $\mathcal{C}=\{e_1=(1,0,0)^\top,e_2=(0,1,0)^\top,e_3=(0,0,1)^\top\}$. Nos dicen que esta matriz resulta que diagonaliza, $D=P^{-1}\,A\,P$ (denotamos por $D$ a dicha matriz diagonal) y por tanto $A=P\,D\,P^{-1}$, mediante la siguiente matriz de cambio de base (o matriz de paso): $$P=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&3&3\\1&3&4\end{pmatrix}$$ ¿Cuál es la base con respecto a la cual diagonaliza?

Los vectores de la nueva base $\mathcal{B}$ corresponden a los vectores columna de la matriz de paso (del cambio de base): $$\mathcal{B}=\{u_1=(1,1,1)^{\top},u_2=(2,3,3)^{\top},u_3=(1,3,4)^{\top}\}$$ $\diamond$

Matriz adjunta de una matriz cuadrada

Dada una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ ( $A \in \mathcal{M}_{n \times n}$ ) se define su matriz adjunta de la siguiente forma
    $\text{adj}(A)=(\alpha_{ij})^t$
donde $\alpha_{ij}$, que se denomina cofactor de $a_{ij}$, se calcula de la forma
$\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\,M_{ij}$   siendo $M_{ij}=\det(A_{ij})$ el menor complementario que se obtiene suprimiendo de $A$ la fila i-ésima y la columna j-ésima.

Propiedades: Si $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$, entonces
$\text{adj}(AB)=\text{adj}(A)\,\text{adj}(B)$
$\text{adj}(A \pm B)\neq \text{adj}(A)\pm \text{adj}(B)$
$\text{adj}(A^m)=\big(\text{adj}(A)\big)^m$
$\text{adj}(I)=I$
$\text{adj}(A^t)=(\text{adj}(A))^t$
$A\,\text{adj}(A)=\text{adj}(A)\,A=\det(A)\cdot I$
$\text{adj}\big(\text{adj}(A)\big)=\big(\det(A)\big)^{n-2}\, A$
$\text{adj}(\lambda\,A)=\lambda^{n-1}\,\text{adj}(A)$
$\det(A)=\dfrac{1}{n}\,\text{tr}(A\,\text{adj}(A)$
$\det\big(\text{adj}(A)\big)=\det\big(A^{n-1}\big)$

Propiedad: Cálculo del determinante desarrollando por los adjuntos de una fila
$\det(A)=\displaystyle \sum_{j=1}^{n}\,a_{kj}\,\alpha_{kj}\quad \forall k=1,2,\ldots, n$

Propiedad: Cálculo del determinante desarrollando por los adjuntos de una columna
$\det(A)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_{ik}\,\alpha_{ik}\quad \forall k=1,2,\ldots, n$

Propiedad: Cálculo de la matriz inversa de una matriz no singular a partir de la la matriz adjunta
$A^{-1}=\dfrac{\text{adj}(A)}{\det(A)}$

Propiedad:
$\text{adj}(A^{-1})=\big(\text{adj}(A)\big)^{-1}$

    [matrices con MAXIMA]

Espacio vectorial cociente inducido por una relación de equivalencia

Relación de equivalencia:
Dado un conjunto $E$, se define en él una relación binaria de equivalencia $\mathcal{E}$, cumpliendo por tanto las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva ). Pues bien, dicha relación de equivalencia determina una partición de $E$, cuyas partes se llaman clases de equivalencia y, recíprocamente, cualquier partición de $E$ establece una relación de equivalencia en $E$.

Dada $\mathcal{E}$ ( una r. de e. en $E$ ), se llaman clase de equivalencia de un elemento $w \in E$, y se designa por $[w]$, al cojunto de elementos que se relacionan con $w$ mediante $\mathcal{E}$, és decir
    $[w]=\{x \in E \, | \, x \,\mathcal{E}\, w \}$

Las clases de equivalencia cumplen las siguientes propiedades:
  a) Dados $x,y \in E$, $x \, \mathcal{E} \, \text{y} \, \Leftrightarrow [x]=[y]$
  b) Dados $x,y \in E$, $x \; \text{no es equivalente a}\; y \Leftrightarrow [x]\cap [y] = \emptyset$
  c) $\displaystyle \cup_{x \in E} [x]=E$

Relación de equivalencia asociada a una aplicación entre dos conjuntos:
Dada una aplicación   $f: A\rightarrow B$, se define la relación binaria tener la misma imagen por la aplicación ( que es de equivalencia ). Esta relación de equivalencia $\mathcal{E}$ se denomina equivalencia asociada a la aplicación y, por tanto, podemos afirmar que dados $x,y \in A$, $x \, \mathcal{E}\, y \Leftrightarrow f(x)=f(y)$.

    Teorema:   Dada una aplicación   $f: E\rightarrow E^{'}$ y la relación de equivalencia asociada, se demuestra que la aplicación $f$ puede descomponerse en tres aplicaciones:
        $f=i \circ b \circ e$
de tal forma que
          $e:E \rightarrow E/\mathcal{E}$   ($e$ es exhaustiva)
          $b: E/\mathcal{E} \rightarrow Im(E)$   ( tal que $b([x])=f(x)$ es biyectiva )
          $i: Im(E) \rightarrow E^{'}$   ( tal que $i\big(f(x)\big)=f(x)$ es inyectiva )
[esquema]


Espacio vectorial cociente:

Sea $(E,+,\cdot)$ un e.v. sobre un cuerpo conmutativo $K$, y sea $\mathcal{E}$ una relación de equivalencia definida en $E$ que sea compatible con la estructura de e.v. sobre $k$.

Por ser $(E,+)$ grupo abeliano, dicha relación de equivalencia debe ser del tipo
$x \, \mathcal{E} \, y \Leftrightarrow x-y \in F$, para todo par $x,y \in E$, donde $F$ es un subgrupo del grupo abeliano $(E,+)$. Siendo, además, $\mathcal{E}$ también compatible con la operación externa producto por escalares, se tiene que $x \, \mathcal{E} \, y \Leftrightarrow \lambda \cdot x \,\, \mathcal{E} \,\, \lambda \cdot y \; \;\forall \lambda \in K$. Entonces, como $\lambda \cdot x - \lambda \cdot y \in F \Leftrightarrow \lambda \cdot (x-y) \in F$, $F$ es un e.v. de $E$.
[Nota: cualquier $z \in F$ puede considerarse como la diferencia de dos vectores $x$ e $y$ equivalentes, ya que elegido un $x \in E$ arbitrario, basta tomar $y=x-z$ ]

Se comprueba que, dado $(E,+,\cdot)$ y dado $F \subset E$, un subespacio vectorial de $E$, la estructura $(E/\mathcal{E},+,\cdot)$ es un e.v. que se denomina espacio vectorial cociente y ser representa por $(E/F,+,\cdot)$ debido a que la relación de equivalencia $\mathcal{E}$ distingue al subespacio vectorial $F$.

Subespacios vectoriales (ejemplos)

Enunciat:
Considereu l'espai afí $(\mathbb{R}^3, O, \mathcal{B})$ on:
    $\mathbb{R}^3$ és l'espai vectorial estàndard sobre el cos $\mathbb{R}$
    L'origen de coordenades $O$ és el punt de coordenades $(0,0,0)$
    La base $\mathcal{B}$ escollida de l'espai vectorial $\mathbb{R}^3$ està formada pels vectors
            $\{e_1=1,0,0,e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)\}$
                ( que es la base estàndard o canònica).
Determineu l'equació implícita (o e. general) del pla que passa pels punts $P(1,0,0)$, $Q(0,1,0)$ i $R(0,0,1)$


  Comentari:   Les projeccions d'aquest pla sobre els plans $Oxy$, $Oxz$ i $Oyz$, són rectes que formen angles de 45º amb els eixos respectius.

Solució:
L'equació implícita del pla
    $A\,x+B\,y+C\,z+D=0$
que passa per tres punts donats
    $P(x_P,y_P,z_P)$, $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ i $R(x_R,y_R,z_R)$
ve donada per
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ x_P&y_P &z_P &1 \\ x_Q&y_Q &z_Q &1 \\ x_R&y_R &z_R &1 \end{vmatrix}=0$
que, amb les dades donades, es concreta així
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=0$
Per calcular el determinant d'ordre $4$ desenvoluparem pels adjunts de la primera columna
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=x\,\begin{vmatrix} 0&0 &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} y&z &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}=x-(1-y-z)$
                                                                              $=x+y+z-1$

Per tant el pla $\pi_{PQZ}$ ve descrit per l'equació (e. general del pla):

    $\pi_{PQZ}:\;\; x+y+z-1=0$

Nota:   Observem que si fem les projeccions del pla sobre els tres plans $Oxy$ ( fent $z=0$ ), $Oyz$ ( fent $x=0$ ) i $Oxz$ ( fent $y=0$ ) obtenim, respectivament, les rectes:
    $x+y=1$, és a dir, la recta $y=-x+1$ ( en el pla $Oxy$ )
    $z+y=1$, és a dir, la recta $z=-y+1$ ( en el pla $Oyz$ )
    $x+z=1$, és a dir, la recta $z=-x+1$ ( en el pla $Oxz$ )
$\square$

Ecuaciones implícitas y ecuaciones paramétricas de un subespacio vectorial

Cosiderar un subespacio vectorial $V=L \left[(1,0,-1),(1,-1,0)\right] \subset \mathbb{R}^3$. Demostrar que el sistema de generadores dado es una base de $V$. Encontrar las ecuaciones implícitas que definen el subespacio $V$. Encontrar tambíen las ecuaciones paramétricas del subespacio.

Solución:
Veamos si los vectores dados son linealmente independientes
    $\alpha \,(1,0,-1) + \beta\,(1,-1,0)=(0,0,0)$
Se comprueba que $\alpha=\beta=0$ y, por tanto, son linealmente independientes. Como, además, los dos vectores dados constituyen un sistema de generadores, forman una base de $V$, que tendrá dimensión $2$.

Para encontrar las ecuaciones implícitas basta tener en cuenta que cualquier otro vector de coordenadas $(x_1,x_2,x_3)$ será por tanto c.l. de los dos vectores de la base dada, con lo cual teniendo en cuenta la matriz $A$ (que tiene por columnas las coordenadas de los vectores)
      $A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & -1 \\-1 & 0 \\\end{pmatrix}$
      $\text{rg}\begin{pmatrix}1 & 1 & x_1\\ 0 & -1 & x_2 \\-1 & 0 & x_3\\\end{pmatrix}=2$
Por tanto, tomando un menor complementario de orden $2$ no nulo como
      $\begin{vmatrix}1 &1 \\ 0 &-1 \\\end{vmatrix} \neq 0$
y haciendo la única (en este caso) ampliación pertinente, su determinante deberá ser nulo ( recordemos que la dimensión es $2$ ), es decir,
      $\begin{vmatrix}1 &1 & x_1\\ 0 &-1 & x_2\\ -1 &0 & x_3\\ \end{vmatrix}=0$
Calculando este determinante, obtenemos un sistema de ecuaciones implícitas que consta, en este caso, de una sola ecuación ( ver II.Ejemplo 7.17, p.169):
      $V:\;\; x_1+x_2+x_3=0$

Vamos a encontrar ahora las ecuaciones paramétricas de $V$ (II.7.16,p.166). Para ello tan solo tenemos que concretar el sistema de ecuaciones
      $\displaystyle x_i=\sum_{j=1}^{2}\,a_{ji}\,\lambda_j \quad ( i = 1,2,3 )$
es decir
    $\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\x_3\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & -1 \\-1 & 0 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2\\\end{pmatrix}$
en otras palabras
    $V:\,\left\{\begin{matrix}x_1&=&\lambda_1 &+ &\lambda_2 \\ x_2&=& & &-\lambda_2 \\ x_3&=&-\lambda_1 & & \\ \end{matrix}\right.$
$\square$

Productos en espacios vectoriales

Se distinguen tres tipos de productos en espacios vectoriales de dimensión finita:

• producto escalar
• producto vectorial
• producto tensorial

El producto escalar de dos vectores produce un escalar, el producto vectorial produce un vector y el producto tensorial produce una aplicación lineal. Cuando trabajamos en una base, el producto escalar (es un escalar) se puede calcular como $x^t\,y$ (entendiendo que $x$ e $y$ son vectores columna de $n$ componentes) y el producto tensorial como $x\,y^t$, que es una matriz $n \times n$. El producto vectorial debido a su naturaleza (es un vector) alternante no puede expresarse como un producto matricial.$\diamond$

Ejercicios de descomposición de endomorfismos

Ésta es una compilación de ejercicios que he realizado sin herremientas de cálculo:
[ Ejercicios de descomposición de endomorfismos ]

-oOo-
Con MAXIMA, podemos calcular la matriz de Jordan de forma automática:

$\square$

Ejemplo de diagonalización de matrices con GNU OCTAVE

>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
A =

   1   2   3
   4   5   6
   7   8   9
% A es la matriz del endomorfismo
% expresado con respecto de la base canónica
% e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0) y e_3=(0,0,1)


>> [C,A]=eig(A) 
% Aquí se calculan los autovalores y 
% la matriz, C, del cambio de base.
%
% Sus columnas corresponden
% a las coordenadas de los vectores
% de la nueva base

C =

  -0.231971  -0.785830   0.408248
  -0.525322  -0.086751  -0.816497
  -0.818673   0.612328   0.408248
  
% Los vectores de la nueva base son:
% u_1= (-0.231971, -0.525322, -0.818673)
% u_2= (-0.785830, -0.086751, 0.612328)
% u_3=(0.408248,-0.816497,0.408248)

A =

Diagonal Matrix

   1.6117e+01            0            0
            0  -1.1168e+00            0
            0            0  -1.3037e-15

% Como se puede comprobar en el resultado, 
% con respecto a la nueva base
% la matriz del endomorfismo
% es una matriz diagonal.

Compruebo ahora que con la matriz diagonal hallada, $D=CAC^{-1}$, ha de cumplirse que $A=C^{-1}DC$ , ya que partiendo de $D=CAC^{-1}$, se tiene que $DC=CAC^{-1}\,C \Rightarrow DC=CAI=CA \Rightarrow C^{-1}DC=C^{-1}CA=IA=A $ En efecto,

>> C*A*C^-1 
ans =

   1   2   3
   4   5   6
   7   8   9

$\diamond$

-oOo-

Utilidades:

  [1] GNU OCTAVE

Ejemplo de cálculo de la matriz canónica de Jordan de una matriz dada

 (%i39)	load(diag)$
	/* Carga de la librería necesaria 
	para calcular con matrices de Jordan */

(%i40)	/* Introducción de la matriz 
	de un cierto endomorfismo 
	expresado con respecto a la base canónica */
	A:matrix([322,-323,-323,322],[325,-326,-325,326],
      [-259,261,261,-260],[-237,237,238,-237]);
	
(%o40)	/* Ésta es la matriz introducida: */
        matrix(
		[322,	-323,	-323,	322],
		[325,	-326,	-325,	326],
		[-259,	261,	261,	-260],
		[-237,	237,	238,	-237]
	)
(%i41)	/* Cálculo de los valores propios y sus
	multiplicidades */
	vp:jordan(A);
(%o41)	[[5,4]]
        /* en este caso, hay un sólo valor propio, 5,
        y su multiplicidad es 4 */
        
(%i42)	/* Cálculo de la matriz canónica de Jordan */
	J:dispJordan(vp); 
(%o42)	matrix(
		[5,	1,	0,	0],
		[0,	5,	1,	0],
		[0,	0,	5,	1],
		[0,	0,	0,	5]
	)
(%i43)	/* Cálculo de la matriz del cambio de base */
	B:ModeMatrix(A,jl);
	/* Las columnas de dicha matriz corresponden
	a las coordenadas de los vectores de la 
	nueva base */
(%o43)	matrix(
		[5922,	2857,	317,	1],
		[4230,	2363,	325,	0],
		[-3572,	-1962,	-259,	0],
		[-5170,	-2392,	-237,	0]
	)
(%i44)	is (A=B.J.invert(B));
	/* comprobación */
(%o44)	true
(%i45)	is (J=invert(B).A.B);
	/* comprobación */
(%o45)	true

-oOo-

Utilidades:

  [1] GNU MAXIMA

Cálculo de la matriz semejante a una matriz dada. Ejemplo para el caso de una matriz diagonalizable:

Cálculo con MAXIMA

(%i1)	load(eigen);
(%o1)	"C:/maxima-5.44.0/share/maxima/5.44.0/share/matrix/eigen.mac"
(%i10)	A:matrix([0,1,-1],[1,1,0],[-1,0,1]);
(%o10)	matrix(
		[0,	1,	-1],
		[1,	1,	0],
		[-1,	0,	1]
	)
 -->	eigenvalues(A);
	/*Devuelve los valores propios y sus multiplicidades respectivas*/
(%o11)	[[2,-1,1],[1,1,1]]
(%i14)	eigenvectors(A);
	/*Devuelve una lista con 2 sublistas. 
    La primera la forman los valores propios con sus multiplicidades, 
	la segunda está formada por los correspondientes vectores propios*/
	
(%o14)	[[[2,-1,1],[1,1,1]],[[[1,1,-1]],[[1,-1/2,1/2]],[[0,1,1]]]]
(%i22)	B:transpose(matrix([1,1,-1],[1,-1/2,1/2],[0,1,1]));
(%o22)	matrix(
		[1,	1,	0],
		[1,	-1/2,	1],
		[-1,	1/2,	1]
	)
 -->	/*Cálculo de la matriz semejante a A*/
	invert(B).A.B;
	/* ... resulta ser una matriz diagonal (se dice que 
	A es diagonalizable)*/
	
(%o19)	matrix(
		[2,	0,	0],
		[0,	-1,	0],
		[0,	0,	1]
	)

$\diamond$

-oOo-

Utilidades:

  [1] GNU MAXIMA

Toda matriz cuadrada puede expresarse de manera única como la suma de una matriz cuadrada simétrica y una matriz cuadrada hemisimétrica

Proposición

Pruébese que siendo $Q$ cualquier matriz cuadrada de orden $n$, no nula. Entonces, es posible escribir $Q=S+H$ de manera única, donde $S$ es una matriz (no nula) simétrica ($S=S^\top$); y $H$ es una matriz (no nula) hemisimétrica ($H=-H^\top$), ambas de orden $n$.

Demostración

Al ser $S$ una matriz simétrica, podemos escribirla de la forma $S=\dfrac{1}{2}\,(Q+Q^\top) \quad (1)$, donde $Q$ es una matriz cualquiera. En efecto, al trasponer $S$, se tiene que $S^\top= \dfrac{1}{2}\,(Q+Q^\top)=\dfrac{1}{2}\,(Q^\top+Q)=S$, como debe ser.

Y al ser $H$ una matriz hemisimétrica, podemos escribirla de la forma $H=\dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top) \quad (2)$, donde, igual que antes, $Q$ es una matriz cualquiera. En efecto, al trasponer $H$, se tiene que $H^\top= \dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top)=\dfrac{1}{2}\,(Q^\top-Q)=-\dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top)=-H$, como debe ser.

De lo arriba dicho se sigue que, sumando miembro a miembro, las igualdades (1) y (2), se tiene que $S+H=\dfrac{1}{2}\,(Q+Q^\top)+\dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top)=\dfrac{1}{2}\,(Q+Q+Q^\top-Q^\top)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\,Q=Q$.

Veamos ahora que dicha descomposición $Q=S+H$ es única. Empecemos suponiendo lo contrario, entonces existe una matriz simétrica $S'\neq S$ y una matriz hemisimétrica $H'\neq H$ tales que $Q$ también puede expresarse como $Q=S'+H'$, entonces $Q=S+H=S'+H'$, y, por tanto, $(S+H)^\top=(S'+H')^\top$, esto es, $S^\top+H^\top=S'^\top+H'^\top$, y de ahí se sigue que $S-H=S'-H'$, luego $S-S'=H-H' \Leftrightarrow S-S'=H-H'=O$ (matriz nula), con lo cual $S=S'$ y $H=H'$, en contra de la hipótesis de partida.$\square$

Ejemplo

Cálculos efectuados con GNU Octave (la notación prima como instrucción indica la traspuesta de una matriz)

>> Q=[1,2,3;-1,0,2;2,1,1]
Q =

   1   2   3
  -1   0   2
   2   1   1

>> S=(Q+Q')/2
S =

   1.0000   0.5000   2.5000
   0.5000        0   1.5000
   2.5000   1.5000   1.0000

>> H=(Q-Q')/2
H =

        0   1.5000   0.5000
  -1.5000        0   0.5000
  -0.5000  -0.5000        0

>> S+H
ans =

   1   2   3
  -1   0   2
   2   1   1

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Resolución de un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado por el método de la matriz inversa (realizando los cálculos con GNU Octave)

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con tres incóngitas $$\left.\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1 \\ x&-&2y&+&3z&=&2 \\ x&+&3y&-&z&=&3\end{matrix}\right\}$$ que en forma matricial puede escribirse de la forma $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$$ Entendiendo por $A$ la matriz de los coeficientes del sistema, por $X$ el vector columna de las incóngnitas y por $B$ el vector columna de los términos independientes, podemos escribir la ecuación matricial $$AX=B$$ Multiplicando ambos miembros por $A^{-1}$, se tiene que $A^{-1}AX=A^{-1}B$, y como $A^{-1}A=I$ (matriz identidad), teniendo en cuenta que $IX=X$, llegamos a $$X=A^{-1}B$$ Esto constituye el método de la matriz inversa para resolver el sistema de ecuaciones, obteniendo éstas, esto es, el vector columna de las incógnitas, que, claro está, para poder aplicarlo es necesario que $\text{det}(A)\neq 0$ (el sistema tiene que ser compatible).

Voy ahora a resolverlo, con la ayuda del GNU Octave:

  >> A=[1,1,1;1,-2,3;1,3,-1]
A =

   1   1   1
   1  -2   3
   1   3  -1
   
>> det(A)
ans = 2
% Como el determinante de la matriz de los coeficientes es
% distinto de cero, la matriz es regular (inversible) y su 
% rango es 3; en efecto,

>> rank(A)
ans = 3


% luego el sistema es compatible. 
% Además, es compatible, habida cuenta de que 
% el rango de la matriz ampliada es también 3,

% (en efecto, el rango de la matriz ampliada es 3)

>> A_a=[1,1,1,1;1,-2,3,2;1,3,-1,3]
A_a =

   1   1   1   1
   1  -2   3   2
   1   3  -1   3

>> rank(A_a)
ans = 3

% Por otra parte, el rango, que es 3, 
% es igual al número de incóngitas
% por lo que el sistema es (compatible) determinado


% Procedo a resolverlo,
% calculando la matriz inversa de A: 
>> A_i=inv(A)
A_i =

  -3.5000   2.0000   2.5000
   2.0000  -1.0000  -1.0000
   2.5000  -1.0000  -1.5000


% Compruebo que está bien calculada:
% el producto de la matriz A por su inversa
% (y el de la inversa de A por A)
% ha de ser igual a la matriz identidad

>> I=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]
I =

   1   0   0
   0   1   0
   0   0   1


>> A_i*A
ans =

   1.0000   0.0000        0
        0   1.0000        0
        0   0.0000   1.0000

>> A*A_i
ans =

   1.0000        0        0
   0.0000   1.0000   0.0000
        0        0   1.0000

% Finalmente, calculo el vector de las incóngitas X:

% (defino antes el vector de los términos independientes)
>> B=[1;2;3]
B =

   1
   2
   3

% Y he aquí la solución del sistema
>> X=A_i*B
X =

   8
  -3
  -4

% Compruebo la solución, sustituyendo en las ecuaciones
% los valores de las incóngitas que acabamos de calcular

% Substituyo en la primera ecuación
>> X(1)+X(2)+X(3)
ans = 1
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma


% Substituyo en la segunda ecuación
>> X(1)-2*X(2)+3*X(3)
ans = 2
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma

% Substituyo en la tercera ecuación
>> X(1)+3*X(2)-X(3)
ans = 3
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma

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Referencias

[1] J.F. Fernando; J.M. Gamboa; J.M. Ruiz, Álgebra lineal (vol. 1), Sanz y Torres, Madrid, 2011
[2] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers (Manual de GNU Octave), https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf

Cálculo de la matriz canónoca de Jordan de la matriz de un endomorfismo mediante el uso de GNU Maxima

En este artículo expongo un sencillo ejemplo de cálculo de la matriz canónica de Jordan (en la base adecuada) de la matriz dada (referida a la base canónica) de un cierto endomorfismo, empleando las utilidades de GNU Maxima, que es una buena herramienta CAS para este tipo de trabajos.

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Referencias

[1] L. Merino; E. Santos, Álgebra Lineal con métodos elementales, Paraninfo-Thomson, Madrid, 2007
[2] E. Hernández, Álgebra y geometría, Addison-Wesley/UAM, Madrid, 1994
[3] S. Xambó, Álgebra lineal y geometrías lineales, Eunibar, Barcelona, 1977
[4] J.F. Fernando; J.M. Gamboa; J.M. Ruiz, Álgebra lineal (vol. 2), Sanz y Torres, Madrid, 2010
[5] Documentación oficial en la red Internet sobre el uso de GNU Maxima, https://maxima.sourceforge.io/documentation.html

Algunos ejercicios de descomposición de endomorfismos. Forma de Jordan

[Unos cuantos ejercicios resueltos]

Ejemplo de cálculo de la matriz de Jordan y de la matriz de paso con MAXIMA

Ejemplo de cálculo de los valores propios y del polinomio mínimo asociado a una matriz dada con MAXIMA

Matrices y submatrices

Consideremos una matriz $m \times n$ ( $m$ filas y $n$ columnas ). Sin pérdida de generalidad, pongamos que $m:=3$ y $n:=4$ $$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}$$ a la cual le corresponde los siguientes conjuntos de índices de filas y columnas, respectivamente: $I=\{1,2,3,4\}$ y $J=\{1,2,3,4\}$. Pues bien, podemos referirnos a una cierta submatriz $B$ de $A$ seleccionando su subconjunto de índices de fila $I_B$ y un subconjunto de índices de columna $J_B$; pongamos que $I_B=\{2,3\}$ y $J_B=\{3,4,\}$, entendiendo dicha submatriz como una matriz de tamaño $(3-2) \times (4-2)$, que, concretamente es $$B\overset{.}{=}A[I_B;J_B]=A[\{2,3\};\{3,4\}]=\begin{pmatrix}a_{23} & a_{24} \\ a_{33} & a_{34} \end{pmatrix}$$ Diremos que una submatriz $B$ de una matriz $A$ es principal si eliminamos las filas y columnas de igual índice, esto es $I_B=J_B$, y lo abreviaremos con la notación $A[I_B]$. Así, por ejemplo, si eliminamos la primera fila y la primera columna, obtenemos la matriz principal $A[\{1\}]=\begin{pmatrix}a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{pmatrix}$

Por menores complementarios de una matriz $A_{m \times n}$ nos referimos a los determinantes de las submatrices cuadradas, que obtengamos al eliminar una o más de las filas o columnas de la matriz dada.

-oOo- Matrices cuadradas de orden $m$

Si en una matriz cuadrada de orden $m$ seleccionamos las filas y columnas $I=J=\{1,\ldots,k\}$ ( con $k\le m$ ), obtenemos una matriz principal superior; y si seleccionamos las filas y columnas con $I=J=\{k,\ldots,m\}$ obtenemos una matriz principal inferior.
Así, para una matriz $B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}$, hay tres submatrices principales superiores: $B[\{1\}]=(b_{11})$, $B[\{1,2\}]=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ y $B[\{1,2,3\}]=B$.

Y también tres matrices principales inferiores: $B[\{3\}]=(b_{33})$, $B[\{2,3\}]=\begin{pmatrix}b_{22} & b_{23} \\ b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}$ y $B[\{1,2,3\}]=B$

Si se elimina una sola fila y una sola columna, los menores complementarios que así se obtienen se denominan primeros menores de dicha matriz cuadrada, y se necesitan para encontrar la matriz de cofactores, la cual es útil para calcular el determinante y la inversa de matrices cuadradas. Además, en el caso de que la submatriz cuadrada formada sea una submatriz principal, los correspondientes primeros menores se denominan menores principales.


-oOo- Nota. Los determinantes de las matrices principales superiores/inferiores se denominan menores principales superiores/inferiores.

Al eleminar la fila $i$ y la columna $j$ de una matriz cuadrada $A_{m \times m}$ obtenemos el menor complementario que suele notarse de la forma $M_{ij}$; o, como también suele decirse, el $(i,j)$-ésimo menor complementario de $A$ ) y que, lógicamente, es de orden $m-1$. Dicho menor puede entenderse como el que resulta de eliminar la fila y la columna a las que pertenece el elemento $a_{ij}$ de la matriz $A$. Recordemos que en el caso de obtener un cierto menor eliminando una única fila y una única columna, hablamos de primeros menores, por lo que si se obtienen eliminando dos filas y dos columnas, los llamaremos segundos menores, etcétera.$\square$

Matriz traspuesta. Algunas propiedades

    Dada una matriz cuadrada de orden $n$, $A=(a_{ij})$, se define su matriz transpuesta como la matriz que se obtiene al intercambiar filas por columnas,
$A^t=(a_{ji})$

Propiedades básicas:
    $(A^t)^t=A$
    $(k\,A)^t=k\,A^t$
    $(A \pm B)^t=A^t \pm B^t$

Otras propiedades:
    $(ABC)^t=C^t\,B^t\,A^t$



Definiciones:
Una matriz $A$ es simétrica si $A^t=A$
Una matriz $A$ es antisimétrica si $A^t=-A$

Si $A$ es una matriz cualquiera, entonces $\dfrac{1}{2}(A+A^t)$ es una m. simétrica y
$\dfrac{1}{2}(A-A^t)$ es una m. antisimétrica. Por lo tanto, toda matriz $A$ puede expresarse como la suma de una m.s. y de una m.a. de la forma:
$A=\dfrac{1}{2}(A+A^t)+\dfrac{1}{2}(A-A^t)$


Más propiedades:
    $\det(A^t)^t=\det(A)$

Matrices regulares (no singurales)

    Una matriz $A$ es regular o invertible ( también llamada no singular) si tiene matriz bilateral $A^{-1}$, tal que
$A^{-1}\,A=A\,A^{-1}=I$

    Dadas dos matrices cuadradas de orden $n$, no singulares, $A=(a_{ij})$ y $B=(b_{ij})$, se cumple

Propiedades básicas:
    $AB$ es singular y $(AB)^{-1}=B^{-1}\,A^{-1}$
    $A^{-1}$ es no singular y $(A^{-1})^{-1}=A$
    $A^t$ es no singular y $(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t$
    $\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}$