Matrices y submatrices

Consideremos una matriz $m \times n$ ( $m$ filas y $n$ columnas ). Sin pérdida de generalidad, pongamos que $m:=3$ y $n:=4$ $$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}$$ a la cual le corresponde los siguientes conjuntos de índices de filas y columnas, respectivamente: $I=\{1,2,3,4\}$ y $J=\{1,2,3,4\}$. Pues bien, podemos referirnos a una cierta submatriz $B$ de $A$ seleccionando su subconjunto de índices de fila $I_B$ y un subconjunto de índices de columna $J_B$; pongamos que $I_B=\{2,3\}$ y $J_B=\{3,4,\}$, entendiendo dicha submatriz como una matriz de tamaño $(3-2) \times (4-2)$, que, concretamente es $$B\overset{.}{=}A[I_B;J_B]=A[\{2,3\};\{3,4\}]=\begin{pmatrix}a_{23} & a_{24} \\ a_{33} & a_{34} \end{pmatrix}$$ Diremos que una submatriz $B$ de una matriz $A$ es principal si eliminamos las filas y columnas de igual índice, esto es $I_B=J_B$, y lo abreviaremos con la notación $A[I_B]$. Así, por ejemplo, si eliminamos la primera fila y la primera columna, obtenemos la matriz principal $A[\{1\}]=\begin{pmatrix}a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{pmatrix}$

Por menores complementarios de una matriz $A_{m \times n}$ nos referimos a los determinantes de las submatrices cuadradas, que obtengamos al eliminar una o más de las filas o columnas de la matriz dada.

-oOo- Matrices cuadradas de orden $m$

Si en una matriz cuadrada de orden $m$ seleccionamos las filas y columnas $I=J=\{1,\ldots,k\}$ ( con $k\le m$ ), obtenemos una matriz principal superior; y si seleccionamos las filas y columnas con $I=J=\{k,\ldots,m\}$ obtenemos una matriz principal inferior.
Así, para una matriz $B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}$, hay tres submatrices principales superiores: $B[\{1\}]=(b_{11})$, $B[\{1,2\}]=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ y $B[\{1,2,3\}]=B$.

Y también tres matrices principales inferiores: $B[\{3\}]=(b_{33})$, $B[\{2,3\}]=\begin{pmatrix}b_{22} & b_{23} \\ b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}$ y $B[\{1,2,3\}]=B$

Si se elimina una sola fila y una sola columna, los menores complementarios que así se obtienen se denominan primeros menores de dicha matriz cuadrada, y se necesitan para encontrar la matriz de cofactores, la cual es útil para calcular el determinante y la inversa de matrices cuadradas. Además, en el caso de que la submatriz cuadrada formada sea una submatriz principal, los correspondientes primeros menores se denominan menores principales.


-oOo- Nota. Los determinantes de las matrices principales superiores/inferiores se denominan menores principales superiores/inferiores.

Al eleminar la fila $i$ y la columna $j$ de una matriz cuadrada $A_{m \times m}$ obtenemos el menor complementario que suele notarse de la forma $M_{ij}$; o, como también suele decirse, el $(i,j)$-ésimo menor complementario de $A$ ) y que, lógicamente, es de orden $m-1$. Dicho menor puede entenderse como el que resulta de eliminar la fila y la columna a las que pertenece el elemento $a_{ij}$ de la matriz $A$. Recordemos que en el caso de obtener un cierto menor eliminando una única fila y una única columna, hablamos de primeros menores, por lo que si se obtienen eliminando dos filas y dos columnas, los llamaremos segundos menores, etcétera.$\square$