Fracciones continuas

Las fracciones continuas tienen muchas aplicaciones; por poner unos cuantos ejemplos, cabe citar: la resolución de ecuaciones diofánticas (restringiéndonos a los números enteros), las pruebas de primalidad (ver si un número es primo o no lo es), la aproximación de números reales (Demidovich, 1988), el desarrollo de funciones en fracciones continuas, o su utilidad en los métodos de factorización (descomposición de un número entero no primo en producto de factores primos). Recordamos aquí algo muy básico (si bien muy importante) sobre las fracciones continuas, si bien voy a omitir la demostración, la cual, si tenéis curiosidad, podéis encontrarla en las referencias indicadas:

    Todo número puede escribirse como una fracción continua. A todo número racional le corresponde una fracción continua finita, mientras que a todo número irracional le corresponde una fracción continua infinita.

EJEMPLO (fracción continua asociada a número decimal exacto):
$\displaystyle 2,56=2+0,56=2+\dfrac{46}{100}=2+\dfrac{14}{25}=2+\dfrac{1}{\dfrac{25}{14}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{11}{14}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{14}{11}}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{11}}}=$

  $=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{11}{3}}}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{2}{3}}}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}}}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}}}}$

Es usual expresar una fracción continua finita $\alpha$ de la forma $[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n]$; donde el número $a_0$ representa la parte entera de $\alpha$ (el grupo de dígitos que constituyen el número entero a la izquierda de la coma decimal) y los números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son los llamados cocientes incompletos — que van apareciendo en la descomposición iterativa de la cantidad remanente que está en los denominadores (como suma de un entero, que es el cociente incompleto, y una fracción impropia) y que ilustra el ejemplo —. En nuestro caso, podemos escribir $2,56=[2;1,1,3,1,2]$


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OBSERVACIÓN:
Notemos que un número racional con infinitos dígitos en la parte decimal (periódico puro o mixto), tal como, por ejemplo, $0,\hat{6}:=0,666\ldots$ tiene un número finito de cocientes incompletos, a pesar de tener infinitos dígitos en la parte decimal. En efecto, $\displaystyle 0,\hat{6}:==0+\dfrac{2}{3}=0+\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}=0+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}$, luego podemos escribir $0,\hat{6}:==\dfrac{2}{3}=[0;1,2]$. Otro ejemplo: $0,\hat{3}:=0,333\ldots=0+0,\hat{3}:==0+\dfrac{1}{3}$, luego la fracción propia asociada a $0,\hat{3}:=$ es $[0;3]$
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COMENTARIO:
L. Euler, entre otros, utilizó las fracciones continuas para desarrollar funciones. Así, por ejemplo, uno de sus resultados es el desarrollo en funciones continuas de la función $e^x$ obteniendo la misma exactitud que en el desarrollo de McLaurin par $x=1$, $e=2+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots$, tal como puede verse en lad páginas 82 y 83 de (Demidovich, 1988).$\square$

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Referencias:
  [1] Freiberger, M.; Thomas, R.: Math Squared. 100 Concepts You Should Know, Quantum Books United, 2016
      Nota: Puede encontrarse una entrada concisa sobre este concepto en la edición del libro en español (Matemáticas. Cien conceptos), Librero, 2020

  [2] Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Fracción_continua
  [3] Demindovich, B.O.;Maron, I.A., C., Cálculo Numérico Fundamental, Paraninfo, Madrid, 1988