Del problema de contar el número de maneras de distribuir n bolas iguales entre k urnas identificables (n mayor o igual que k) — de forma que no quede ninguna urna vacía — al problema de contar « rachas »

Nos vamos a plantear ahora un problema que encaja en el patrón de las combinaciones con repetición: el de distribuir un cierto número de bolas iguales en un conjunto de urnas, de tal modo que cada urna vaya a contener por lo menos una bola. Para ello, aprovecharemos lo que se ha estudiado ya con anterioridad. A su vez, este problema constituye, como veremos, un patrón para resolver el de las rachas que se obitienen al extraer bolas de manera sucesiva de una urna que contiene un cierto número de bolas blancas y un cierto números de bolas negras, hasta que ésta quede vacía.

ENUNCIADO. ¿De cuántas maneras es posible distribuir $n$ bolas iguales en $k$ urnas (identificables), siendo $n\ge k$, de forma que no quede vacía ninguna urna?.

SOLUCIÓN. En el artículo anterior se ha resuelto el problema de repartir $n$ bolas iguales en $k$ urnas, en el que se había justificado que la solución consiste en calcular el número de combinaciones con repetición de $n$ bolas elegidas en una gama de $k$ clases: $$\displaystyle \left(\binom{k}{n}\right):=\dfrac{(n+(k-1))!}{n!\,(n-k)!}=\binom{n+(k-1)}{n}=\binom{n+(k-1)}{k-1}$$ Sin embargo, ahora debemos garantizar que ninguna urna va a quedar vacía, por lo que empezaremos ubicando exactamente una bola en cada urna; y, a continuación, procederemos a distribuir las $n-k$ bolas restantes entre las $k$ urnas. Así, el problema es análogo al que ya tenemos resuelto, pero con $k$ bolas menos. Entonces, la solución al mismo es: $$\displaystyle \left(\binom{k}{n-k}\right)\overset{def}{=}\dfrac{(n-k+(k-1))!}{(n-k)!\,(n-k)!}=\dfrac{(n-1)!}{(n-k)!(n-1-(n-k)!}=\dfrac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}=\binom{n-1}{k-1}=\binom{n-1}{n-k}\quad \quad [1]$$
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Veamos un caso concreto sobre esto: EJEMPLO 1. ¿De cuántas maneras podemos distribuir $5$ bolas iguales entre $3$ urnas, de manera que no quede ningua urna vacía?.

SOLUCIÓN. Ahora, $n:=5$ y $k:=3$, luego podremos hacerlo de $$\displaystyle \left(\binom{3}{5-3}\right)=\left(\binom{3}{2}\right)=\binom{5-1}{3-1}=\binom{4}{2}=6\,\text{maneras}$$

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OBSERVACIÓN (El problema de las « rachas »):
  Una bonita aplicación —de la que se habla en (Hernández, 1995)— es el de contar las rachas al extraer de manera sucesiva de una urna que contiene, en un principio, $b$ bolas blacas y $n$ bolas negras, hasta que la que la urna queda vacía, obteniendo secuencias del tipo $BBNNNBBBNBNNNN\,\ldots$. ¿Cuántas rachas formadas de $k$ bolas blancas y $k+1$ bolas negras &mdsh; donde, lógicamente, $k$ deberá cumplir que $k\le a$ y $k+1\le b$ — es posible obtener?.

SOLUCIÓN: Para resolver este problema podemos pensar en el problema patrón de distribuir un cierto número de bolas iguales en un conjunto de urnas, de manera que ninguna de las urnas quede vacía, esto es, de modo que, tras acabar la operación de ubicación de las bolas en las urnas, cada urna acabe conteniendo al menos una bola. Cada racha una de las $k$ rachas de bolas blancas puede asociarse a la distribución de $a$ bolas blancas en $k$ urnas (sin que ninguna de ellas quede vacía); sabemos, de [1] (haciendo $n:=a$) que esto puede hacerse de $\displaystyle \binom{a-1}{k-1}$ maneras, y contabilizando también las $k+1$ rachas de bolas negras intercaladas entre dos rachas de bolas blancas, vemos que, por cada una de esas posibilidades ($k$ rachas de bolas blancas), hay $\displaystyle \binom{b-1}{k+1)-1}=\binom{b-1}{k}$ (haciendo en [1] $n:=b$ y $k:=k+1$). Así pues, tendremos un total de $$\displaystyle \binom{a-1}{k-1}\cdot \binom{b-1}{k}\,\text{maneras de obtener}\,k\,\text{rachas de bolas blancas, y}\,k+1\,\text{rachas de bolas negras}$$ EJEMPLO 2. Consideremos una urna que contiene $8$ bolas, $3$ de las cuales son blancas y $5$ son negras. Nos dedicamos a extraer bolas, de manera sucesiva, hasta que la urna quede vacía. ¿De cuántas maneras pueden darse $2$ rachas de bolas blancas ($k:=2$), estando intercaladas por tanto (dichas rachas), entre $3$ rachas de bolas negras ($k+1=2+1=3$)?.

SOLUCIÓN. Ahora, $a:=3$ y $b:=5$, y $k:=2$, luego tal cosa podrá suceder de $$\displaystyle \binom{3-1}{2-1}\cdot \binom{5-1}{2}=\binom{2}{1}\cdot \binom{4}{2}=2\cdot 6=12\,\text{maneras}$$
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Referencias:
  [1] Hernández, V.; Vélez, R.: Dados, monedas y urnas, UNED, Madrid, 1995