Combinaciones con repetición: un patrón para llegar a la solución del problema genérico

En otros artículos hemos analizado problemas de variaciones, icluidos los que, en particular, se ajustan a esquemas de permutaciones con repetición. Ahora vamos a ver un problema de combinaciones, cuya solución, en particular, se ajusta a un problema de combinaciones con repetición, solución a la que llegaremos empleando el recurso consistente en realizar una representación equivalente en la que podamos utilizar la idea del cálculo de permutaciones con repetición.

ENUNCIADO. Tres personas se reúnen en la terraza de un bar. En dicho bar solamente sirven dos tipos de bebidas: infusiones y cafés. Cada una de los tres personas pide una única bebida, una infusión o bien un café. ¿Cuántos pedidos pueden realizar?.

SOLUCIÓN. Podemos recurrir a representar las configuraciones o repartos utizando únicamente dos símbolos: el símbolo 'x' para designar la elección efectiva de una de las dos bebida por parte de cada una de las tres personas, y el símbolo '|' para separar los dos compartimentos separadores en la representación de las tres celdas dispuestas en hilera necesarias asociadas a cada tipo de bebida. Así, el problema se reduce a permutar $2-1$ símbolos '|' y $3$ símbolos 'x'. Por tanto, la solución (el número de repartos posibles) es $\displaystyle \dfrac{3+(2-1))!}{3!\cdot (2-1)!}=\dfrac{4!}{6\cdot 1}=4$.

Nota: Denominamos combinaciones con repetición (de $n$ objetos en $k$ clases) al número de $k$-combinaciones con repetición tomadas de un conjunto con $n$ elementos (o número de formas en que se puede extraer un multiconjunto con $k$ elementos de un conjunto con $n$ elementos), y escribimos $\displaystyle CR_{k,n}:=\dfrac{n+(k-1))!}{n!\cdot (k-1)!}=\binom{n+k-1}{k-1}=\binom{n+k-1}{n}$, lo cual también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{k}{n}\right)$. En este problema en concreto, $n:=3$ y $k:=2$.

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Como problema genérico/patrón, análogo al que acabamos de tratar, puede servirnos el siguiente: el de distribuir/ubicar $n$ bolas idénticas en $k$ urnas perfectamente identificables: la solución es $\displaystyle \left(\binom{k}{n}\right)$.
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Referencias:
  [1] Hernández, V.; Vélez, R., Dados, monedas y urnas, UNED, Madrid, 1995
  [2] Grimaldi, R.P., Matemáticas. Discreta y combinatoria, Addison-Wesley Iberoamericana, 1989