Otro problema de distribución de bolas (iguales) en urnas

Seguimos con los problemas de « bolas y urnas », ligados al patrón de combinaciones con repetición. Y, por supuesto, aprovecharemos lo que se ha estudiado ya con anterioridad.

ENUNCIADO.
  a) ¿De cuántas maneras es posible distribuir $n$ bolas iguales en $k$ urnas (identificables), de manera que una de las urnas contenga exactamente $r$ bolas ($r\le n$)?
  b) ¿De cuántas maneras es posible distribuir $n$ bolas iguales en $k$ urnas (identificables), de manera que, elegida una determinada urna, ésta contenga exactamente $r$ bolas ($r\le n$)?


SOLUCIÓN. En un artículo anterior se ha resuelto el problema básico de repartir $n$ bolas iguales en $k$ urnas, en el que se había justificado que la solución consiste en calcular el número de combinaciones con repetición de $n$ bolas elegidas en una gama de $k$ clases: $$\displaystyle \left(\binom{k}{n}\right):=\dfrac{(n+(k-1))!}{n!\,(n-k)!}=\binom{n+(k-1)}{n}=\binom{n+(k-1)}{k-1}$$
a) Si una de las $k$ urnas (cualquiera de ellas) tiene que contener exactamente $r\le n$ bolas, debemos resolver el problema de repartir $n-r$ urnas en $k-1$ urnas, así que, en la solución básica tendremos que $n:=n-r$ y $k:=k-1$, con lo cual el número de posibilidades es $$\displaystyle \left(\binom{k-1}{n-r}\right)=\binom{(n-r)+((k-1)-1)}{(k-1)-1}=\binom{n-r+k-2}{k-2}$$

b) Si una urna determinada de las $k$ urnas tiene que contener exactamente $r\le n$ bolas, el problema difiere el algo del del apartado anterior. Debemos contabilizar primero de cuántas manera podemos elegir la urna que contiene exactamente $r$ bolas, y ello se puede hacer de $\displaystyle \binom{k}{1}=k$ maneras. A continuación, razonaremos de la siguiente manera: por cada una de esas $k$ posibilidades, sabemos que existen (por la solución encontrada en el apartado anterior) otras tantas $\displaystyle \binom{n-r+k-2}{k-2}$ maneras de distribuir las $n-r$ bolas en las restantes $k-1$ urnas. Finalmente, por tanto, tendremos un total de $$\displaystyle \binom{k}{1}\displaystyle \binom{n-r+k-2}{k-2}=k\,\binom{n-r+k-2}{k-2}\,\text{posibilidades}$$

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Veamos un caso concreto: EJEMPLO. Supongamos que tenemos $n:=8$ bolas a distribuir en $k:=4$ urnas, de entre las cuales:
  (1) en una de ellas (una cualquiera) deberá haber $r:=3$ bolas
  (2) en una determinada urna (prefijada) deberá haber $r$ bolas
¿De cuántas maneras se podrá hacer eso?


SOLUCIÓN.
Recordemos ahora que $n:=8$, $k:=4$ y $r:=3$, luego de las soluciones genéricas deducidas arriba, obtenemos los siguientes resultados:

  (1)             $\displaystyle \binom{8-3+4-2}{4-2}=\binom{7}{2}=6$ posibilidades

  (2)             $\displaystyle \binom{4}{1}\cdot \binom{8-3+4-2}{4-2}=4 \cdot 6=24$ posibilidades
$\square$

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Referencias:
  [1] Hernández, V.; Vélez, R.: Dados, monedas y urnas, UNED, Madrid, 1995