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miércoles, 28 de abril de 2021

Matriz traspuesta. Algunas propiedades

    Dada una matriz cuadrada de orden n, A=(a_{ij}), se define su matriz transpuesta como la matriz que se obtiene al intercambiar filas por columnas,
A^t=(a_{ji})

Propiedades básicas:
    (A^t)^t=A
    (k\,A)^t=k\,A^t
    (A \pm B)^t=A^t \pm B^t

Otras propiedades:
    (ABC)^t=C^t\,B^t\,A^t



Definiciones:
Una matriz A es simétrica si A^t=A
Una matriz A es antisimétrica si A^t=-A

Si A es una matriz cualquiera, entonces \dfrac{1}{2}(A+A^t) es una m. simétrica y
\dfrac{1}{2}(A-A^t) es una m. antisimétrica. Por lo tanto, toda matriz A puede expresarse como la suma de una m.s. y de una m.a. de la forma:
A=\dfrac{1}{2}(A+A^t)+\dfrac{1}{2}(A-A^t)


Más propiedades:
    \det(A^t)^t=\det(A)


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