Arrel d'índex n d'un nombre complex

Considerem un nombre complex $z=a+i\,b$ (amb a i b, donats). Determinarem, tot seguit, el procediment per trobar els n valors de $\sqrt[n]{z}$

podem escriure el nombre complex $z$ de la forma trigonomètrica

$z=r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})$

on $r$ n'és el mòdul i $\alpha$ l'angle polar

per altra banda, és obvi que el radical

$\sqrt[n]{z}$

ha de donar també nombres complexos que podem escriure (forma trigonomètrica)

$w=s\,(\cos{\theta}+i\,\sin{\theta})$

(on $s$ n'és el mòdul i $\theta$ l'angle polar)

Per la propietat de reciprocitat, s'ha de complir que si

$w=\sqrt[n]{z}$

llavors

$z=w^n$

i per la fórmula de De Moivre

$w^n=s^n \, (\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}$

per tant

$r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})=s^n \, (\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}$

llavors, deduïm que

T$r=s^n$ i, doncs, $s=\sqrt[n]{r}$

i

$n\,\theta_{k}=\alpha + 2k\pi \quad \text{on} \quad k=0,1,2,\ldots,n-1$

d'on, veiem que hi ha n valors com a solució

$\theta_{k}=\dfrac{\alpha+2k\pi}{n} \quad \text{on} \quad k=0,1,2,\ldots,n-1$

Exemple:

Calculem $\sqrt[2]{1+i}$

Tenint en compte que
$r=|\sqrt{2}|$
i
$\alpha=\dfrac{\pi}{4}$
podem escriure l'argument de l'arrel de la forma
$z=|\sqrt{2}|\, (\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\,\sin{\dfrac{\pi}{4}})$

llavors
$s=|\sqrt{\sqrt{2}}|=|\sqrt[4]{2}|$

i

$\theta_{k}=\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}{2} \quad \text{on} \quad k=0,1$

aquests valors de l'angle polar són els següents

$\theta_0=\dfrac{\pi}{8}$

i

$\theta_1=\dfrac{9\,\pi}{8}$

per tant

$\sqrt{(1+i)}=\left\{ \begin{matrix} |\sqrt[4]{2}|\,(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+i\,\sin{\dfrac{\pi}{8}}) \\ \\ |\sqrt[4]{2}|\,(\cos{\dfrac{9\,\pi}{8}}+i\,\sin{\dfrac{9\,\pi}{8}}) \\ \end{matrix}\right.$

$\square$

Una manera alternativa de resoldre-ho (viable, tan sols, quan l'índex del radical és igual a 2, com és el cas) és la següent:

Sabem, d'antuvi, que trobarem dos nombres (complexos) del tipus $x+y\,i$

per tant, escriurem que

$\sqrt{1+i}=x+y\,i$

Fent la potència al quadrat d'ambdós membres

$1+i=x^2-y^2 + 2xy\,i$

Llavors, per tal que es compleixi la igualtat caldrà igualar les parts reals dels dos membres, i, naturalment, també les parts imaginàries; obtindrem, per tant, un sistema de dues equacions de variable real

$1=x^2 - y^2 \quad \quad \text{(1)}$

$1=2xy \quad \quad \quad \; \; \text{(2)}$

Aïllant la variable $y$ de (2) i substituint l'expressió resultant en (1) trobem

$4x^4-4x^2-1=0$

equació biquadrada que resoldrem fent el canvi de variable $x^2=t$, transformant-la en una equació de 2n grau

$4t^2-4t-1=0$

que té les següents solucions

$t=\frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Desfent, ara, el canvi de variable $x=\sqrt{t}$ arribem a les següents solucions reals (les solucions complexes no les tenim en compte, atès que $x$ representa els valors de la part real de $\sqrt{1+i}$

$x_1=\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|$

i

$x_2=-\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|$

Per cada valor de $x$ obtenim un valor de $y$, atesa la segona equació del sistema plantejat

$y=\frac{1}{2x}$

d'on traiem que

$y_1= \frac{1}{2} \, \left| \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{2}} } \right| $

i

$y_2=-\frac{1}{2}\,\left|\sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|$

i, per tant, les solucions de $\sqrt{1+i}$ són els nombres complexos

$z_1=\left| \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} \right|+\frac{1}{2}\,\left| \sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|\,i$

i

$z_2=-\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|-\frac{1}{2}\,\left| \sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|\,i$

$\square$