Processing math: 100%

jueves, 29 de abril de 2021

Arrel d'índex n d'un nombre complex

Considerem un nombre complex z=a+i\,b (amb a i b, donats). Determinarem, tot seguit, el procediment per trobar els n valors de \sqrt[n]{z}

podem escriure el nombre complex z de la forma trigonomètrica

z=r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})

on r n'és el mòdul i \alpha l'angle polar

per altra banda, és obvi que el radical

\sqrt[n]{z}

ha de donar també nombres complexos que podem escriure (forma trigonomètrica)

w=s\,(\cos{\theta}+i\,\sin{\theta})

(on s n'és el mòdul i \theta l'angle polar)

Per la propietat de reciprocitat, s'ha de complir que si

w=\sqrt[n]{z}

llavors

z=w^n

i per la fórmula de De Moivre

w^n=s^n \, (\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}

per tant

r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})=s^n \, (\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}

llavors, deduïm que

Tr=s^n i, doncs, s=\sqrt[n]{r}

i

n\,\theta_{k}=\alpha + 2k\pi \quad \text{on} \quad k=0,1,2,\ldots,n-1

d'on, veiem que hi ha n valors com a solució

\theta_{k}=\dfrac{\alpha+2k\pi}{n} \quad \text{on} \quad k=0,1,2,\ldots,n-1

Exemple:

Calculem \sqrt[2]{1+i}

Tenint en compte que
r=|\sqrt{2}|
i
\alpha=\dfrac{\pi}{4}
podem escriure l'argument de l'arrel de la forma
z=|\sqrt{2}|\, (\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\,\sin{\dfrac{\pi}{4}})

llavors
s=|\sqrt{\sqrt{2}}|=|\sqrt[4]{2}|

i

\theta_{k}=\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}{2} \quad \text{on} \quad k=0,1

aquests valors de l'angle polar són els següents

\theta_0=\dfrac{\pi}{8}

i

\theta_1=\dfrac{9\,\pi}{8}

per tant

\sqrt{(1+i)}=\left\{ \begin{matrix} |\sqrt[4]{2}|\,(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+i\,\sin{\dfrac{\pi}{8}}) \\ \\ |\sqrt[4]{2}|\,(\cos{\dfrac{9\,\pi}{8}}+i\,\sin{\dfrac{9\,\pi}{8}}) \\ \end{matrix}\right.

\square

Una manera alternativa de resoldre-ho (viable, tan sols, quan l'índex del radical és igual a 2, com és el cas) és la següent:

Sabem, d'antuvi, que trobarem dos nombres (complexos) del tipus x+y\,i

per tant, escriurem que

\sqrt{1+i}=x+y\,i

Fent la potència al quadrat d'ambdós membres

1+i=x^2-y^2 + 2xy\,i

Llavors, per tal que es compleixi la igualtat caldrà igualar les parts reals dels dos membres, i, naturalment, també les parts imaginàries; obtindrem, per tant, un sistema de dues equacions de variable real

1=x^2 - y^2 \quad \quad \text{(1)}

1=2xy \quad \quad \quad \; \; \text{(2)}

Aïllant la variable y de (2) i substituint l'expressió resultant en (1) trobem

4x^4-4x^2-1=0

equació biquadrada que resoldrem fent el canvi de variable x^2=t, transformant-la en una equació de 2n grau

4t^2-4t-1=0

que té les següents solucions

t=\frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}

Desfent, ara, el canvi de variable x=\sqrt{t} arribem a les següents solucions reals (les solucions complexes no les tenim en compte, atès que x representa els valors de la part real de \sqrt{1+i}

x_1=\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|

i

x_2=-\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|

Per cada valor de x obtenim un valor de y, atesa la segona equació del sistema plantejat

y=\frac{1}{2x}

d'on traiem que

y_1= \frac{1}{2} \, \left| \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{2}} } \right|

i

y_2=-\frac{1}{2}\,\left|\sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|

i, per tant, les solucions de \sqrt{1+i} són els nombres complexos

z_1=\left| \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} \right|+\frac{1}{2}\,\left| \sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|\,i

i

z_2=-\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|-\frac{1}{2}\,\left| \sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|\,i

\square


No hay comentarios:

Publicar un comentario