Considerem un nombre complex z=a+i\,b (amb a i b, donats). Determinarem, tot seguit, el procediment per trobar els n valors de \sqrt[n]{z}
podem escriure el nombre complex z de la forma trigonomètrica
z=r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})
on r n'és el mòdul i \alpha l'angle polar
per altra banda, és obvi que el radical
\sqrt[n]{z}
ha de donar també nombres complexos que podem escriure (forma trigonomètrica)
w=s\,(\cos{\theta}+i\,\sin{\theta})
(on s n'és el mòdul i \theta l'angle polar)
Per la propietat de reciprocitat, s'ha de complir que si
w=\sqrt[n]{z}
llavors
z=w^n
i per la fórmula de De Moivre
w^n=s^n \, (\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}
per tant
r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})=s^n \, (\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}
llavors, deduïm que
Tr=s^n i, doncs, s=\sqrt[n]{r}
i
n\,\theta_{k}=\alpha + 2k\pi \quad \text{on} \quad k=0,1,2,\ldots,n-1
d'on, veiem que hi ha n valors com a solució
\theta_{k}=\dfrac{\alpha+2k\pi}{n} \quad \text{on} \quad k=0,1,2,\ldots,n-1
Exemple:
Calculem \sqrt[2]{1+i}
Tenint en compte que
r=|\sqrt{2}|
i
\alpha=\dfrac{\pi}{4}
podem escriure l'argument de l'arrel de la forma
z=|\sqrt{2}|\, (\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\,\sin{\dfrac{\pi}{4}})
llavors
s=|\sqrt{\sqrt{2}}|=|\sqrt[4]{2}|
i
\theta_{k}=\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}{2} \quad \text{on} \quad k=0,1
aquests valors de l'angle polar són els següents
\theta_0=\dfrac{\pi}{8}
i
\theta_1=\dfrac{9\,\pi}{8}
per tant
\sqrt{(1+i)}=\left\{ \begin{matrix} |\sqrt[4]{2}|\,(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+i\,\sin{\dfrac{\pi}{8}}) \\ \\ |\sqrt[4]{2}|\,(\cos{\dfrac{9\,\pi}{8}}+i\,\sin{\dfrac{9\,\pi}{8}}) \\ \end{matrix}\right.
\square
Una manera alternativa de resoldre-ho (viable, tan sols, quan l'índex del radical és igual a 2, com és el cas) és la següent:
Sabem, d'antuvi, que trobarem dos nombres (complexos) del tipus x+y\,i
per tant, escriurem que
\sqrt{1+i}=x+y\,i
Fent la potència al quadrat d'ambdós membres
1+i=x^2-y^2 + 2xy\,i
Llavors, per tal que es compleixi la igualtat caldrà igualar les parts reals dels dos membres, i, naturalment, també les parts imaginàries; obtindrem, per tant, un sistema de dues equacions de variable real
1=x^2 - y^2 \quad \quad \text{(1)}
1=2xy \quad \quad \quad \; \; \text{(2)}
Aïllant la variable y de (2) i substituint l'expressió resultant en (1) trobem
4x^4-4x^2-1=0
equació biquadrada que resoldrem fent el canvi de variable x^2=t, transformant-la en una equació de 2n grau
4t^2-4t-1=0
que té les següents solucions
t=\frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}
Desfent, ara, el canvi de variable x=\sqrt{t} arribem a les següents solucions reals (les solucions complexes no les tenim en compte, atès que x representa els valors de la part real de \sqrt{1+i}
x_1=\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|
i
x_2=-\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|
Per cada valor de x obtenim un valor de y, atesa la segona equació del sistema plantejat
y=\frac{1}{2x}
d'on traiem que
y_1= \frac{1}{2} \, \left| \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{2}} } \right|
i
y_2=-\frac{1}{2}\,\left|\sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|
i, per tant, les solucions de \sqrt{1+i} són els nombres complexos
z_1=\left| \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} \right|+\frac{1}{2}\,\left| \sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|\,i
i
z_2=-\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|-\frac{1}{2}\,\left| \sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|\,i
\square
No hay comentarios:
Publicar un comentario