Un ejemplo de subespacio de dimensión 2 en R^3. Ecuaciones implícitas y paramétricas de dicho subespacio.

Enunciado:
Cosidérese un subespacio vectorial $V=L \left[(1,0,-1),(1,-1,0)\right] \subset \mathbb{R}^3$. Demuéstrese que el sistema de generadores dado es una base de $V$. Encuéntrense las ecuaciones implícitas que definen el subespacio $V$. Encuéntrense tambíen las ecuaciones paramétricas del subespacio.

Solución:
Veamos si los vectores dados son linealmente independientes
    $\alpha \,(1,0,-1) + \beta\,(1,-1,0)=(0,0,0)$
Se comprueba que $\alpha=\beta=0$ y, por tanto, son linealmente independientes. Como, además, los dos vectores dados constituyen un sistema de generadores, forman una base de $V$, que tendrá dimensión $2$.

Para encontrar las ecuaciones implícitas basta tener en cuenta que cualquier otro vector de coordenadas $(x_1,x_2,x_3)$ será por tanto c.l. de los dos vectores de la base dada, con lo cual teniendo en cuenta la matriz $A$ (que tiene por columnas las coordenadas de los vectores)
      $A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & -1 \\-1 & 0 \\\end{pmatrix}$
      $\text{rg}\begin{pmatrix}1 & 1 & x_1\\ 0 & -1 & x_2 \\-1 & 0 & x_3\\\end{pmatrix}=2$
Por tanto, tomando un menor complementario de orden $2$ no nulo como
      $\begin{vmatrix}1 &1 \\ 0 &-1 \\\end{vmatrix} \neq 0$
y haciendo la única (en este caso) ampliación pertinente, su determinante deberá ser nulo ( recordemos que la dimensión es $2$ ), es decir,
      $\begin{vmatrix}1 &1 & x_1\\ 0 &-1 & x_2\\ -1 &0 & x_3\\ \end{vmatrix}=0$
Calculando este determinante, obtenemos un sistema de ecuaciones implícitas que consta, en este caso, de una sola ecuación ( ver II.Ejemplo 7.17, p.169):
      $V:\;\; x_1+x_2+x_3=0$

Vamos a encontrar ahora las ecuaciones paramétricas de $V$ (II.7.16,p.166). Para ello tan solo tenemos que concretar el sistema de ecuaciones
      $\displaystyle x_i=\sum_{j=1}^{2}\,a_{ji}\,\lambda_j \quad ( i = 1,2,3 )$
es decir
    $\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\x_3\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & -1 \\-1 & 0 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2\\\end{pmatrix}$
en otras palabras
    $V:\,\left\{\begin{matrix}x_1&=&\lambda_1 &+ &\lambda_2 \\ x_2&=& & &-\lambda_2 \\ x_3&=&-\lambda_1 & & \\ \end{matrix}\right.$
$\square$