Els nombres complexos. Algunes notes ràpides.

El 1637, Rene Descartes , a la seva obra "Geometria" va estudiar el problema de les arrels quadrades dels nombres negatius i afirmà:
"(...) ni l'arrel veritable (la positiva) ni la falsa (la negativa) son sempre reals (...) de vegades son imaginaries"

Durant el segle XVII es desenvolupa la geometria analitica; pren molta importancia aprendre a determinar els punts on una corba toca l'eix d'abcises (arrels positives) i, amb una certa consternacio per part dels matematics, no deixen d'apareixer, com es natural, arrels imaginaries.

Davant l'aparició de $\sqrt{-1}$ en la resolució d'equacions algebraiques, Euler escrigué en els seus "Elements d'algebra": "(...) ni res, ni mes gran que res, ni menys que res". Y segueix: "(...) som empesos a la idea de nombres que son impossibles per la sev propia natura i que, per tant, s'anomenen habitualment quantitats imaginaries, ja que existeixen unicament en la nostra imaginacio (...) Això no obstant, apareixen a la nostra ment, existeixen a la nostra imaginacio i en tenim prou idea ... no hi ha rao per fer-ne us en els nostres calculs"

Representació dels nombres complexos. 1. forma binòmica: $z=a+ib=(a,b)$ 2. forma polar: donant el mòdul, $|z|$, i l'argument (a. polar), $\alpha$, del n.c. 3. forma trigonomètrica $z=|z|(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))$

Operacions amb nombres complexos: suma i producte de n.c. Les propietats (internes, commutativa, existència d'e. neutre per ambdues op., existència d'e. simètric, associativa i p. distributiva de la suma respecte el producte donen estructura de cos commutatiu a $(C,+,.)$

En relació a trobar l'invers $\frac{1}{z}$ d'un n. donat $z$, s'obtè multiplicant i dividint pel conjugat del $z$, $\bar{z}$ tot fet servir la propietat: $z.\bar{z}=|z|^2$

Notes d'història fins a les aportacions de L. Euler

Necessitat dels nombres complexos (la resolució d'e. polinòmiques) Aparició de la unitat imaginaria $i$: de l'eq. $x^2+1=0$ s'obté $x_1=\sqrt{i}$ i $x_2=-\sqrt{i}$ Com que s'ha de complir que $x^2+1=(x-x_1)(x-x_2)$ es despren d'això l'àlgebra cíclica de $i$: $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4$=1, i altra vegada: $x^5=i$ ...

Donats dos nosmbres complexos $z_1$ i $z_2$ amb els corresponents moduls i angles de fase, podem trobar el mòdul de la suma mitjançant el teorema del cosinus: $|z_1+z_2|^ 2=|z_1|^ 2+|z_2|^2-\cos(\pi-\delta\alpha)$, on $\delta\alpha$ representa la diferència de fase, $\alpha_2-\alpha_1$, dels dos n. complexos, la qual cosa es igual a $|z_1+z_2|^ 2=|z_1|^ 2+|z_2|^ 2+\cos(\delta\alpha)$

Operacions en $C$: suma, producte i divisió de n. complexos (multiplicant el dividend i el divisor pel conjugat del divisor, tot fet servir la propietat: $z\cdot z'=|z|^2$

A partir de la formula d'Euler es pot fer mes eficaç el càlcul de potencies d'un n.c. gràcies a la formula que porta per nom f. de De Moivre. I, fent un pas reciproc, calcular les n arrels del nombre complex $\sqrt[n][z]$

Fou de gran importancia la troballa consitent a visualitzar (representar geometricament) un n. complex - Argand (1768-1822), Wessel (1745-1818) i Gauss (1777-1855). El n.c. es representa com un segment orientat centrat a l'origen de coordenades; a l'eix horitzontal s'hi representa la component real i a l'eix vertical, la component imaginària (talment com es representa un vector lliure).

El problema de les arrels d'una equacio polinomica amb coeficients complexos el vingue a resoldre Gauss amb el seu teorema (Teorema fonamental de l'algebra: "tota equacio p. de grau n amb coeficients comp. - eq. algebrica - te n solucions en el cos complex.

Els nombres complexos, de seguida, es varen fer servir a la física; la natura ondulatoria, i les funcions sinusoidals es poden descriure algebricament amb l'ajut dels nombres complexos: els circuits de c.a., la teoria de les ones electromagnètiques, les funcions d'ona de la mecànica quàntica, etcètera es varen desenvolupar mercès a l'us dels n.c. i modernes tories de la física matemàtica.