Convergencia de sucesiones infinitas. Significado de $\epsilon$

Con el número real positivo $\epsilon$ cuantificamos el grado de alejamiento de un determinado término $a_n$ de un sucesión convergente del valor de su límite $l$; lógicamente, cuanto más se acerque el valor de $a_n$ a dicho límite, menor será el valor de $\epsilon$.

Estableciendo un cierto paralelismo (salvando las peculiaridades de contenido) con el error de la medida de una determinada magnitud, el valor de un determinado término $a_n$ sería el valor de la medida, $l$ el valor nominal, y $\epsilon$ haría el papel de cota de error absoluto de dicha medida. Por supuesto, cuanto menor sea esta “cota de error”, más se acercará el valor de la “medida” $a_n$ al valor nominal $l$.

Por eso, para probar que una sucesión infinita $(a_n)$ converge a $l$ es necesario elegir primero el “grado de precisión” $\epsilon$ (que debe ser tan pequeño como queramos) y, a continuación, probar que, de acuerdo con ese valor, podamos encontrar un término (lugar – o índice - $n_0 \in \mathbb{N}$) de la sucesión a a partir del cual (los términos $a_n$ con índices $n \ge n_0$), la diferencia entre el valor dichos términos y el valor del límite $l$ sea menor que el grado de precisión elegido $\epsilon$.