Identidad del paralelogramo

PROPOSICIÓN.
Sean $z,w \in \mathbb{C}$, demostrar la identidad del paralelogramo $$|x+w|^2+|z-w|^2=2\,\left(|z|^2+|w|^2\right)$$

DEMOSTRACIÓN. $$|z+w|^2=(z+w)(\overline{z+w})=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})=z\overline{z}+z\overline{w}+w\overline{z}+w\overline{w}$$
$$|z-w|^2=(z-w)(\overline{z-w})=(z-w)(\overline{z}-\overline{w})=z\overline{z}-z\overline{w}-w\overline{z}+w\overline{w}$$
Sumando miembro a miembro,
$$|z+w|^2+|z-w|^2=2\,z\overline{z}+2\,w\overline{w}$$
esto es
$$|z+w|^2+|z-w|^2=2\,|z|^2+2\,|w|^2$$
y, por tanto,
$$|z+w|^2+|z-w|^2=2\left(|z|^2+|w|^2\right)$$
$\square$