Un ejercicio de topología en el conjunto de los números reales

p>Enunciado:
Dados los conjuntos $A\subset \mathbb{R}$ y $B\subset \mathbb{R}$ definidos de la forma
$A=\{x \in \mathbb{R} \,:\, x=\dfrac{3n-1}{2n}, \; n\in \mathbb{N}$
$B=\{x \in \mathbb{R} \,:\, x=\dfrac{n^2+2}{n^2}, \; n\in \mathbb{N}$
Se pide:
a) ¿ Es $A$ abierto ? ¿ Es cerrado ?
a) ¿ Es $B$ abierto ? ¿ Es cerrado ?
c) Hallar los siguientes conjuntos: $\text{ac}(A)$, $\text{ac}(B)$ y $\text{ac}(A \cup B)$
d) ¿ Es $A \cup B$ cerrado ?
e) Hallar los siguientes conjuntos: $\text{adh}(A)$, $\text{adh}(B)$ y $\text{adh}(A \cup B)$

Solución:
a) ¿ Es $A$ abierto ? ¿ Es cerrado ?
El conjunto dado corresponde a los términos de la sucesión
$\{1\;,\;\frac{5}{4}\;,\;\frac{4}{3},\ldots\}$
Observemos también que la sucesión converge y que el valor del límite del término general (que es igual a $3/2$ ) no corresponde a ningún término de la sucesión; por tanto, al ser el valor de límite un punto de acumulación ( es el único, de hecho, por una de las propiedades estudiadas) y al no pertenecer éste a $A$ deducimos de ésto que $A$ no contiene a todos sus puntos de acumulación (propiedad) y, por consiguiente, $A$ no es un conjunto cerrado.

Veamos si se trata de un conjunto abierto. $A$ será abierto si su complementario $\mathbb{R}-A$ es cerrado. És claro que $\{1\;,\;\frac{5}{4}\;,\;\frac{4}{3},\ldots\}$, que son los elementos de $A$, son puntos de acumulación de $\mathbb{R}-A$, pero no son los únicos puntos de acumulación que tiene dicho conjunto; en consecuencia, $\mathbb{R}-A$ no es cerrado y, por tanto, su complementario $A$ no es un conjunto abierto.

Resumiendo: $A$ no es un conjunto abierto ni es un conjunto cerrado.

b) ¿ Es $B$ abierto ? ¿ Es cerrado ?
El conjunto dado corresponde a los términos de la sucesión
$\{1\;,\;\frac{3}{2}\;,\;\frac{11}{9},\ldots\}$
Observemos, también aquí, que la sucesión converge y que el valor del límite del término general (que es igual a $1$ ) no corresponde a ningún término de la sucesión; por tanto, al ser el valor de límite un punto de acumulación ( es el único, de hecho, por una de las propiedades estudiadas) y al no pertenecer éste a $A$ deducimos de ésto que $B$ no contiene a todos sus puntos de acumulación (propiedad) y, por consiguiente, $B$ no es un conjunto cerrado.

Veamos si se trata de un conjunto abierto. $B$ será abierto si su complementario $\mathbb{R}-B$ es cerrado. És claro que $\{3\;,\;\frac{3}{2}\;,\;\frac{11}{9},\ldots\}$, que son los elementos de $B$, son puntos de acumulación de $\mathbb{R}-B$, pero no son los únicos puntos de acumulación que tiene dicho conjunto, es decir, no contiene a todos sus puntos de acumulación; en consecuencia, $\mathbb{R}-B$ no es cerrado y, por tanto, su complementario $B$ no es un conjunto abierto.

Resumiendo: Como en el caso de $A$, resulta que $B$ no es un conjunto abierto ni es un conjunto cerrado.

c) Hallar los siguientes conjuntos: $\text{ac}(A)$, $\text{ac}(B)$ y $\text{ac}(A \cup B)$
$\text{ac}(A)=\{\frac{3}{2}\} \in B$ ya que corresponde al siguiente término $b_2 \in B$
$\text{ac}(B)=\{1\} \in A$ ya que corresponde al término $a_1 \in A$
por tanto
$\text{ac}(A \cup B)=\{1,\frac{3}{2}$

d) ¿ Es $A \cup B$ cerrado ?
Observemos que $A \cup B$ incluye todos sus puntos de acumulación (que son $1$ y $\frac{3}{2}$), en consecuencia $A \cup B$ es un conjunto cerrado.

e) Hallar los siguientes conjuntos: $\text{adh}(A)$, $\text{adh}(B)$ y $\text{adh}(A \cup B)$
$\text{adh}(A)=A\cup \text{ac}(A)$
    $=\{1\;,\;\frac{5}{4}\;,\;\frac{4}{3},\ldots\} \cup \{\frac{3}{2}\}$
    $=\{1\;,\;\frac{5}{4}\;,\;\frac{4}{3}\ldots;\frac{3}{2}\}$
$\text{adh}(B)=B\cup \text{ac}(B)$
    $=\{3\;,\;\frac{3}{2}\;,\;\frac{11}{9},\ldots\} \cup \{1\}$
    $=\{1;3\;,\;\frac{3}{2}\;,\;\frac{11}{9}\ldots\}$
Por tanto
$\text{adh}(B) \cup \text{adh}(B)$
    $=\{1\;,\;\frac{5}{4}\;,\;\frac{4}{3}\ldots;\frac{3}{2}\} \cup \{1\} \cup \{1;3\;,\;\frac{3}{2}\;,\;\frac{11}{9}\ldots\}$
    $= A \cup B$
$\square$