Sea $A \subset \mathbb{R}$. Diremos que $k_s \in \mathbb{R}$ es una cota superior de $S \subset \mathbb{R}$ si y sólo si $\forall x \in A, x \le k_s$. Diremos también que $k_i \in \mathbb{R}$ es una cota inferior de $S \subset \mathbb{R}$ si y sólo si $\forall x \in S, x \ge k_i$
Diremos que un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es acotado si y sólo si es acotado superior e inferiormente.
Se llama conjunto mayorante de $A \subset \mathbb{R}$ al conjunto de las cotas superiors; la menor de dichas cotas se llama supremo, y, si además, dicho elemento pertenece también a $A$, lo llamamos máximo de $A$.
Se llama conjunto minorante de $A \subset \mathbb{R}$ al conjunto de las cotas inferiores; la mayor de dichas cotas se llama ínfimo , y, si además, dicho elemento pertenece también a $A$, lo llamamos mínimo de $A$.
Intervalo
Definición:
Un conjunto $I \subset \mathbb{R}$ es un intervalo si y sólo si cualesquiera que sean los puntos $x$ e $y$ de $I$ tales que $x \prec y$ se verifica $[x,y]\subset I$
Entorno de $x$
Definición:
Dado un número real $x$, se llama entorno de $x$, y se designa por $N(x)$, a todo intervalo abierto de la forma
$(x-r,x+r)$ donde $r$, que se llama radio del entorno, es un número positivo.
Entorno de reducido de $x$
Definición:
Dado un número real $x$, se llama entorno reducido de $x$, y se designa por $N^{*}(x)$ a $N(x)-\{x\}$.
Conjuntos abiertos
Definición:
Se dice que un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es abierto cuando para cada $x \in A$ existe un intervalo abierto que contiene a $x$ y está contenido en $A$
Proposición:
a) $\emptyset$ y $\mathbb{R}$ son abiertos
b) La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto
c) La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto
Definición (espacio topológico):
Dado un conjunto $E$ y un colección $\mathcal{T}$ de subconjuntos abiertos de $E$ que cumplen las tres propiedades anteriores se dice que $\mathcal{T}$ define una topologia en $E$. La colección de subconjuntos de $\mathbb{R}$ es una topologia.
( Nota: si $\mathcal{T}$ es el conjunto de las partes de $E$ se habla de una topologia discreta. Si $\mathcal{T}$ solo contiene los elementos $E$ y $\emptyset$ se tiene una topologia trivial ).
Conjuntos cerrados
Definición:
Se dice que un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es cerrado cuando su complementario $\mathbb{R}-A$ es un conjunto abierto
Proposición:
a) $\emptyset$ y $\mathbb{R}$ son cerrados
b) La intersecció de cualquier colección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado
c) La unión de cualquier colección finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado
Puntos interiores, exteriores y puntos frontera
Punto interior a un conjunto $A \subset \mathbb{R}$:
Diremos que un punto $x \in \mathbb{R}$ es interior a $A \subset \mathbb{R}$ si existe un entorno de $N(x)$ contenido (totalmente contenido) en $A$. El conjunto de todos los puntos interiors se llama interior de $A$ y se designa por $\text{int}(A)$
Punto exterior a un conjunto $A \subset \mathbb{R}$:
Diremos que un punto $x \in \mathbb{R}$ es exterior a $A \subset \mathbb{R}$ si existe un entorno de $N(x)$ contenido (totalmente contenido) en el complementario de $A$, que es $\mathbb{R}-A$. El conjunto de todos los puntos exteriores se llama exterior de $A$ y se designa por $\text{ext}(A)$
Punto frontera de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$:
Diremos que un punto $x \in \mathbb{R}$ es un punto frontera de $A \subset \mathbb{R}$ cuando todo entorno de $x$ contiene puntos de $A$ y del complementario de $A$. El conjunto de todos los puntos frontera se llama frontera de $A$ y se designa por $\text{fr}(A)$.
Ejemplo: Si $A$ es un intervalo acotado de extremos $a$ y $b$, entonces:
$\text{int}(A)=(a,b)$
$\text{ext}(A)=(-\infty,a ] \cup [ b,+\infty)$
$\text{fr}(A)=\{a,b\}$
Proposición:
Para cada $A \subset \mathbb{R}$, los conjuntos $\text{int}(A)$, $\text{ext}(A)$, $\text{fr}(A)$ son disjuntos y se cumple
$\mathbb{R}=\text{int}(A)\cup \text{ext}(A)\cup \text{fr}(A)$
Proposición:
Para cada $A \subset \mathbb{R}$, los conjuntos $\text{int}(A)$ y $\text{ext}(A)$, son abiertos y el cojunto $\text{fr}(A)$ es cerrado
$\mathbb{R}=\text{int}(A)\cup \text{ext}(A)\cup \text{fr}(A)$
Puntos adherentes y puntos de acumulación
Punto adherente a un conjunto $A \subset \mathbb{R}$:
Diremos que un punto $x \in \mathbb{R}$ es adherente a $A \subset \mathbb{R}$ cuando todo entorno $N(x)$ contiene puntos de $A$, es decir, si se cumple que para todo $N(x)$ de $x \in \mathbb{R}$, $N(x) \cap A \neq \emptyset$. El conjunto de todos los puntos adherentes a $A$ y se designa por $\text{adh}(A)$ y se llama adherencia o cierre de $A$.
Proposición:
Para cada conjunto $A \subset \mathbb{R}$ el conjunto $\text{adh}(A)$ es el mínimo cerrado que contiene a $A$. Es decir, si $A$ es un conjunto cerrado $\text{adh}(A)=A$.
Propiedades del cierre (adherencia) y del interior de un conjunto $A$:
$\text{adh}(\emptyset)=\emptyset$
$A \subset \text{adh}(A)$
$\text{adh}\big(\text{adh}(A)\big)=\text{adh}(A)$
$\text{adh}(A \cup B)=\text{adh}(A) \cup \text{adh}(B)$
$\text{int}(\mathbb{R})=\mathbb{R}$
$\text{int}(a) \subset \mathbb{R}$
$\text{int}\big(\text{int}(A)\big)=\text{int}(A)$
$\text{int}(A \cap B)=\text{int}(A) \cap \text{int}(B)$
Punto de acumulación de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$:
Diremos que un punto $x \in \mathbb{R}$ es punto de acumulación de $A \subset \mathbb{R}$ cuando todo entorno reducido $N^{*}(x)$ contiene puntos de $A$, , es decir, si se cumple que para todo $N^{*}(x)$ de $x \in \mathbb{R}$, $N^{*}(x) \cap A \neq \emptyset$ El conjunto de todos los puntos de acumulación a $A$ se llama conjunto derivado de $A$ y se designa por $\text{ac}(A)$
Ejemplo 1: Si $A=[a,b)$, entonces $\text{adh}(A)=\left[a,b\right]$
Ejemplo 2: Si $A=(a,b)$, entonces $\text{adh}(A)=\left[a,b\right]$
Ejemplo 3 Si $A=\mathbb{N}$, entonces $\text{adh}(A)=\emptyset$
Proposición:
Para cada conjunto $A \subset \mathbb{R}$ se verifica $\text{adh}(A)=A \cup \text{ac}({A})$
Punto aislado de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$:
Se dice que un punto $x \in \mathbb{R}$ es punto de aislado de $A \subset \mathbb{R}$ cuando a pesar de ser $x$ de $A$, no es, sin embargo, un punto de acumulació de $A$, es decir, $N^{*}(x)$ no contiene ningún punto de $A$
Observación:
Todo punto de adherencia de $A \subset \mathbb{R}$ es también un punto de acumulación
de $A \subset \mathbb{R}$; sin embargo, lo recíproco no es siempre cierto, ya que podrían haber puntos aislados en $A$; si no los hubiese, es obvio pues sí que se puede afirmar que $\text{adh}(A)=\text{ac}(A)$ ya que, en general, para cada conjunto $A \subset \mathbb{R}$ se verifica $\text{adh}(A)=A \cup \text{ac}{A}$
Proposición:
Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación.
Ejemplo:
Dado $A \subset \mathbb{R}$ definido de la forma
$A=\{x \in \mathbb{R} \,:\, x=\dfrac{3n-1}{2n}, \; n\in \mathbb{N}$
¿ Es abierto ? ¿ Es cerrado ?
Solución:
El conjunto dado corresponde a los términos de la sucesión
$\{1\;,\;\frac{5}{4}\;,\;\frac{4}{3},\ldots\}$
Observemos también que la sucesión converge y que el valor del límite del término general (que es igual a $3/2$ ) no corresponde a ningún término de la sucesión; por tanto, al ser el valor de límite un punto de acumulación ( es el único, de hecho, por una de las propiedades estudiadas) y al no pertenecer éste a $A$ deducimos de ésto que $A$ no contiene a todos sus puntos de acumulación (propiedad) y, por consiguiente, $A$ no es un conjunto cerrado.
Veamos si se trata de un conjunto abierto. $A$ será abierto si su complementario $\mathbb{R}-A$ es cerrado. És claro que $\{1\;,\;\frac{5}{4}\;,\;\frac{4}{3},\ldots\}$, que son los elementos de $A$, son puntos de acumulación de $\mathbb{R}-A$, pero no son los únicos puntos de acumulación que tiene dicho conjunto; en consecuencia, $\mathbb{R}-A$ no es cerrado y, por tanto, su complementario $A$ no es un conjunto abierto.
Resumiendo: $A$ no es un conjunto abierto ni es un conjunto cerrado. $\square$
Cojuntos compactos
Recubrimiento de un conjunto $A$:
Definición (recubrimiento):
Se dice que una colección $\mathcal{A}$ de conjuntos cubre a un conjunto $A$ o que es un recubrimiento de $A$ cuando la unión de todos los conjuntos de $\mathcal{A}$ contiene a $A$.
Definición (recubrimiento abierto):
Un recubrimiento abierto de $A$ es un recubrimiento formado por conjuntos abiertos.
Ejemplo: La colección de intervalos abiertos $(1/n,1-1/n)$ donde ( $n=2,3,\ldots$ ) es un recubrimiento abierto del intervalo $(0,1) \subset \mathbb{R}$
Definición (subrecubrimiento):
Un subrecubrimiento de un recubrimiento $\mathcal{A}$ es una subcolección de conjuntos $\mathcal{B}$ de $\mathcal{A}$ que cubre (recubre) también al conjunto $A$.
Definición (conjunto compacto):
Un subrecubrimiento de un recubrimiento $\mathcal{A}$ es una subcolección de conjuntos $\mathcal{B}$ de $\mathcal{A}$ que cubre (recubre) también al conjunto $A$.
Ejemplo: La colección de intervalos abiertos $(1/n,1-1/n)$ donde ( $n=3,\ldots$ ) es un recubrimiento abierto del intervalo $(0,1) \subset \mathbb{R}$, y la colección de intervalos abiertos $\big(\dfrac{1}{2n},1-\dfrac{1}{2n}\big)$ donde ( $n=2,3,\ldots$ ) es un subrecubrimiento abierto del intervalo $(0,1) \subset \mathbb{R}$
Definición (conjunto compacto):
Se dice que un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es compacto cuando de todo recubrimiento abierto de $A$ se puede extraer un subrecubrimiento finito.
Proposición:
Todo conjunto compacto es cerrado.
Proposición. (Teorema de Heine Borel):
Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
Proposición (Teorema de Bolzano-Weierstrass):
Todo conjunto infinito y acotado $A \subset \mathbb{R}$ tiene al menos un punto de acumulación.
Ejemplo 1: El conjunto $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ no es un c. cerrado habida cuenta de que no contiene los p.d.a. que no son números racionales (n. irracionales).
Observaciones:
Se cumple lo siguiente:
$\text{int}(\mathbb{Z})=\emptyset$
$\text{ext}(\mathbb{Z})=\mathbb{R}-\mathbb{Z}$
$\text{fr}(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$
$\text{adh}(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$
$\text{ac}(\mathbb{Z})=\emptyset$
$\text{int}(\mathbb{Q})=\emptyset$
$\text{ext}(\mathbb{Q})=\emptyset$
$\text{fr}(\mathbb{Q})=\mathbb{R}$
$\text{adh}(\mathbb{Q})=\mathbb{R}$
$\text{ac}(\mathbb{Q})=\mathbb{R}$
