Axioma del supremo

Este importante axioma dice lo siguiente:

Sea $E \subseteq \mathbb{R}$, siendo $E \neq \emptyset$ y acotado superiormente. Entonces, $E$ tiene supremo (la menor de las cotas superiores).

De forma análoga se puede decir que si $E \subseteq \mathbb{R}$, siendo $E \neq \emptyset$ y acotado inferiormente. Entonces, $E$ tiene ínifimo (la mayor de las cotas inferiores).

El axioma del supremo, junto con los axiomas 1-12 del cuerpo de los números reales, da completitud y continuidad al conjunto de los números reales ya que garantiza que llenen la recta numérica, sin dejar "agujeros", a diferencia del cuerpo de los números racionales, que no es completo, puesto que éstos no llenan toda la recta numérica.

Observación:   Un cuerpo que posea el axioma del supremo es también arquimediano; lo recíproco no es siempre cierto, por ejemplo, el cuerpo de los números racionales $\mathbb{Q}$ es arquimediano pero no se verifica en él el axioma del supremo puesto que no es un cuerpo completo.

Axioma del supremo. Cuerpo de los números reales

Sea $E \subseteq \mathbb{R}$, siendo $E \neq \emptyset$ y acotado superiormente. Entonces, $E$ tiene supremo (la menor de las cotas superiores).

De forma análoga se puede decir que si $E \subseteq \mathbb{R}$, siendo $E \neq \emptyset$ y acotado inferiormente. Entonces, $E$ tiene ínifimo (la mayor de las cotas inferiores).

El axioma del supremo, junto con los axiomas 1-12 del cuerpo de los números reales, da completitud y continuidad al conjunto de los números reales ya que garantiza que llenen la recta numérica, sin dejar "agujeros", a diferencia del cuerpo de los números racionales, que no es completo, puesto que éstos no llenan toda la recta numérica.

Observación:   Un cuerpo que posea el axioma del supremo es también arquimediano; lo recíproco no es siempre cierto, por ejemplo, el cuerpo de los números racionales $\mathbb{Q}$ es arquimediano pero no se verifica en él el axioma del supremo puesto que no es un cuerpo completo.