Conjuntos en los que definimos una relación de orden

Consideremos un conjunto $B$ contenido en otro conjunto $A$ en el que hay definida una relación de orden $\prec$. Pues bien, es sabido que ésta induce una relación de orden en $B$, de tal manera que:

Si $m\in A$ precede a todos los elementos de $B$, decimos que $m$ es un elemento minorante de $B$; y, si existen más elementos en $A$ que, como $m$, también preceden a todos los elementos de $B$, hablamos entonces del conjunto de los minorantes de $B$. Al último elemento de los minorantes de $B$ (la mayor de las cotas inferiores de $B$) se le denomina ínfimo de $B$, y en el caso de que dicho ínfimo pertenezca también a $B$, diremos que es el elemento mínimo de $B$.

Si $M\in A$ es precedido por todos los elementos de $B$, decimos que $M$ es un elemento mayorante de $B$; y, si existen más elementos en $A$ que, como $M$, también son precedidos por todos los elementos de $B$, hablamos entonces del conjunto de los mayorantes de $B$. Al primer elemento de los mayorantes de $B$ (la menor de las cotas superiores) se le denomina supremo de $B$, y en el caso de que dicho supremo pertenezca también a $B$, diremos que es el elemento máximo de $B$.

Axioma del supremo

Este importante axioma dice lo siguiente:

Sea $E \subseteq \mathbb{R}$, siendo $E \neq \emptyset$ y acotado superiormente. Entonces, $E$ tiene supremo (la menor de las cotas superiores).

De forma análoga se puede decir que si $E \subseteq \mathbb{R}$, siendo $E \neq \emptyset$ y acotado inferiormente. Entonces, $E$ tiene ínifimo (la mayor de las cotas inferiores).

El axioma del supremo, junto con los axiomas 1-12 del cuerpo de los números reales, da completitud y continuidad al conjunto de los números reales ya que garantiza que llenen la recta numérica, sin dejar "agujeros", a diferencia del cuerpo de los números racionales, que no es completo, puesto que éstos no llenan toda la recta numérica.

Observación:   Un cuerpo que posea el axioma del supremo es también arquimediano; lo recíproco no es siempre cierto, por ejemplo, el cuerpo de los números racionales $\mathbb{Q}$ es arquimediano pero no se verifica en él el axioma del supremo puesto que no es un cuerpo completo.

Acotaciones, supremo e ínfimo

Encunciado:
Sea
  $A=\{ x \in \mathbb{R}: \dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \lt 0 \}$
Demostrar que $A$ está acotado y calcular su supremo y su ínfimo

Solución:
Sea
Multiplicando ambos miembros de
  $\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \lt 0$
por $(x-3)^2\,(x-4)^2$
y, simplificando, se llega a
    $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\lt 0$
que és un polinomio de cuarto grado cuatro $P_{4}(x)$, cuyas raíces son ( $1,2,3,4$ )
Luego, es evidente que para $x\lt 1$, $P_{4}(x)\succ 0$, con lo cual se deduce
que los intervalos dónde el polinomio toma valores positivos son $(1,2)$ y $(3,4)$, luego
$A=(1,2) \cup (3,4)$
con lo cual, $\forall x \in $ se cumple que $1 \lt x \lt 4$
luego $A$ está acotado. Y su supremo (la menor de las cotas superiores) e ínfimo (la mayor de las cotas inferiores) son
  $\text{sup}(A)=4$ i $\text{inf}(A)=1$
$\square$

Un ejercicio sobre acotación

Encunciado:
Sea
  $A=\{ x \in \mathbb{R}: \dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \lt 0 \}$
Demostrar que $A$ está acotado y calcular su supremo y su ínfimo

Solución:
Sea
Multiplicando ambos miembros de
  $\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \lt 0$
por $(x-3)^2\,(x-4)^2$
y, simplificando, se llega a
    $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\lt 0$
que és un polinomio de cuarto grado cuatro $P_{4}(x)$, cuyas raíces son ( $1,2,3,4$ )
Luego, es evidente que para $x\lt 1$, $P_{4}(x)\succ 0$, con lo cual se deduce
que los intervalos dónde el polinomio toma valores positivos son $(1,2)$ y $(3,4)$, luego
$A=(1,2) \cup (3,4)$
con lo cual, $\forall x \in $ se cumple que $1 \lt x \lt 4$
luego $A$ está acotado. Y su supremo (la menor de las cotas superiores) e ínfimo (la mayor de las cotas inferiores) son
  $\text{sup}(A)=4$ i $\text{inf}(A)=1$
$\square$