Acotaciones, supremo e ínfimo

Encunciado:
Sea
  $A=\{ x \in \mathbb{R}: \dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \lt 0 \}$
Demostrar que $A$ está acotado y calcular su supremo y su ínfimo

Solución:
Sea
Multiplicando ambos miembros de
  $\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \lt 0$
por $(x-3)^2\,(x-4)^2$
y, simplificando, se llega a
    $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\lt 0$
que és un polinomio de cuarto grado cuatro $P_{4}(x)$, cuyas raíces son ( $1,2,3,4$ )
Luego, es evidente que para $x\lt 1$, $P_{4}(x)\succ 0$, con lo cual se deduce
que los intervalos dónde el polinomio toma valores positivos son $(1,2)$ y $(3,4)$, luego
$A=(1,2) \cup (3,4)$
con lo cual, $\forall x \in $ se cumple que $1 \lt x \lt 4$
luego $A$ está acotado. Y su supremo (la menor de las cotas superiores) e ínfimo (la mayor de las cotas inferiores) son
  $\text{sup}(A)=4$ i $\text{inf}(A)=1$
$\square$