Propiedades relevantes de la función indicatriz de Euler

Recordemos que la función indicatriz de Euler de un número entero positivo $m$, distinto de cero, proporciona el número de números naturales menores o iguales que $m$ que son coprimos con $m$   (*), y se de demuestra que $\displaystyle \varphi(m):=m\,\prod_{p_i|m}\,\left(1-\dfrac{1}{p_i}\right)$; siendo $\{p_i\}$, el conjunto de números primos que dividen a $m$   (**). Entonces, a partir de ahí, es fácil demostrar las siguientes propiedades:

1. $\varphi(p)\overset{\text{(*)}}{=}p-1$ si $p$ es primo, habida cuenta de la definición de la función   $\diamond$.
2. $\varphi(m\,n)\overset{\text{(*)}}{=}\varphi(m)\,\varphi(n)$ si $(m,n)=1$, habida cuenta de la definición de la función; en particular, si $m$ y $n$ son números primos, se tiene que $\varphi(m\,n)\overset{\text{P1}}{=}(m-1)\,(n-1)$   $\diamond$.
3. $\varphi(p^k)=(p-1)\,p^{k-1}$ si $p$ es primo y $k\in \mathbb{N}$; en efecto, $\varphi(p^k)\overset{\text{(**)}}{=}p^k\,\left(1-\dfrac{1}{p}\right)=p^k\,\dfrac{(p-1)}{p}=(p-1)\,p^{k-1}$   $\diamond$.