Ecuaciones con congruencias

Sabemos que una ecuación del tipo $a\equiv b\,(\text{mod}\,m)$ tiene solución si y solo si $d:=\text{mcd}(a,m)|b$. En el caso de admitir solución, resolver dicha ecuación en congruencias es equivalente a resolver la ecuación diofántica lineal $ax+my=b$, cuya solución general, como ya sabemos, tiene la estructura $\{x,y\}=\{ x_0+\dfrac{m}{d}\,\lambda\,\,,\,\,y_0-\dfrac{a}{d}\,\lambda\,\forall\,\lambda \in \mathbb{Z}\}$, siendo $(x_0,y_0)$ una solución particular. Por supuesto, de dicha solución general, nos interesan en especial los valores de $x$ que la satisfacen, si bien los de $y$, pueden ser también de interés "físico" en el caso de que la variable $y$ pueda tener algún significado en el contexto de un problema concreto.

Ejemplo 1

La ecuación $2x\equiv 3\,(\text{mod}\,10)$ no admite solución, pues $d=\text{mcd}(2,10)=2\not |\; 3$

Ejemplo 2

Nos proponemos ahora resolver la ecuación $2x\equiv 3\,(\text{mod}\,5)$, que sí admite solución, ya que $d=\text{mcd}(2,5)=1\not |\; 3$.

La ecuación diofántica equivalente es $2x+5y=3$. Una solución particular de la misma es $(x_0=9,y_0=-3)$, ya que $2\cdot 9+5\cdot (-3)=18-15=3$, luego la estructura de la solución general es $\{(x,y)\}=\{(9+\dfrac{5}{1}\,\lambda\,\,,\,\,-3-\dfrac{2}{1}\,\lambda)\;\forall\,\lambda \in \mathbb{Z}\}$, esto es $\{x,y\}=\{ (9+5\,\lambda\,\,,\,\,-3-2\,\lambda)\;\forall\,\lambda \in \mathbb{Z}\}$   $\diamond$.