$n\,(n+1)\,(2\,n+1)$ es múltiplo de $6$

Sea $p:=n\,(n+1)\,(2n+1)$, donde $\mathbb{N} \ni n \ge 1$. ¿Es $6$ divisor de $p$?

Sabemos que $6|p$ ($6$ es divisor de $p$) si y sólo si $2|p$ y $3|p$:

Es claro que paara $n=:1$, $p=1\cdot 2 \cdot 3 = 6$, y, evidentemente, en este caso, $6|p$; lo mismo sucede para $n=:2$, pues $p=2\cdot 3\cdot 5=30$, con lo que $6|p$ también en este otro caso. Examinemos, a continuación, qué sucede para cualquier número natural $n\gt 2$

Tanto si $n$ es par como si es impar, $n\,(n+1)$ es par, en consecuencia, al multiplicar el producto de estos factores por un número natural cualquiera (en este caso por $2n+1$) se deduce que $2|n\,(n+1)\,(2n+1)$; esto es, $2|p$

Analicemos ahora que sucede si realizamos la división euclídea de $n$ entre $3$, obtendremos $n=3\,\ell+r$, donde $\mathbb{N} \ni \ell \lt n$ y $r \in \{0,1,2\}$. Entonces:

(i) En el caso de que $r=0$, se tiene que $n=3\,\ell+0=3\,\ell$ y por tanto $3|n$, luego al multiplicar $n$ por otros dos números naturales cualesquiera, como son en este caso en concreto, $n+1=3\,\ell+1$ y $2n+1=6\,\ell+2$, es claro que el producto de los tres factores también es múltiplo de $3$, con consecuencia $3|p$, y al haber demostrado ya que $2|p$, concluimos que $6|p \;\;\diamond$.

(ii) En el caso de que $r=1$, se tiene que $n=3\,\ell+1$, con lo cual $n+1=3\,\ell+2$ y $2\,n+1=2\cdot (3\,\ell+1)+1=3\cdot 2\,\ell+2+1=3\cdot 2\,\ell+3=3\,(2\,\ell+1) \therefore 3|2\,n+1$, luego al ser uno de los tres factores de $p$ un múltiplo de $3$, se tiene que $3|p$, y, como en el caso anterior, al haber demostrado ya al principio que $2|p$, concluimos $6|p \;\;\diamond$.

(iii) En el caso de que $r=2$, se tiene que $n=3\,\ell+2$, con lo cual $n+1=3\,\ell+3=3\,(\ell+1)$, por lo que al ser uno de los tres factores de $p$ un múltiplo de $3$, se tiene que $3|p$, y, como en los casos anteriores, habiendo demostrado ya (al principio) que $2|p$, concluimos que $6|p \;\;\diamond$.

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Comentario:

La expresión $n\,(n+1)\,(2n+1)$ aparece en la fórmula de la suma de los $n$ primeros términos de la sucesión de los cuadrados $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$. Dicha suma es igual a $\dfrac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}$ y puede demostrarse fácilmente por el método de inducción.