Operando en base diez, el dígito menos significativo de $a$ y el de $a^5$ son los mismos

Sea un número natural $a$, entonces para que el último dígito de $a^5$ coincida con el último dígito de $a$, debe cumplirse que $a^5 \equiv a\,(\text{mod}\,10)$.

Haciendo unas cuántas pruebas es fácil darse cuenta de que para cualquier otro exponente distinto de $5$, en general, no coinciden las últimas cifras de ambas cantidades.

Vamos a justificar esta popiedad. Sabemos que todo número natural $1\le a \le 10^n$ (siendo $n$ un número natural), puede expresar como desarrollo en serie de potencias de base $10$ de la forma $\displaystyle a=\left(\sum_{i=1}^{n-1}\,\alpha_i\,10^i\right)+u$, donde $u$ es el dígito menos significativo por el que estamos interesados (el de las unidades), y los $\{\alpha_i\}_{i=1}^{n-1}$ representa el conjunto del resto de dígitos del desarrollo. Factorizando la base de las potencias, $10=2\cdot 5$, el desarrollo anterior se escribe de la forma $\displaystyle a=\left( \sum_{i=1}^{n-1}\,\alpha_i\,(2\cdot 5)^i \right)+u=\left(\sum_{i=1}^{n-1}\,\alpha_{i}^{'} \,5^i\right)+u$, donde $\alpha_{i}^{'}=2\,\alpha_i$ para cada $i=1,\ldots,n-1$; por consiguiente, $u \equiv a\,(\text{mod}\,5) \overset{\text{(por el pequeño teorema de Fermat)}}{=}a^5 \,(\text{mod}\,5)$   $\diamond$.