Operando en base diez, el dígito menos significativo de $a$ y el de $a^5$ son los mismos

Sea un número natural $a$, entonces para que el último dígito de $a^5$ coincida con el último dígito de $a$, debe cumplirse que $a^5 \equiv a\,(\text{mod}\,10)$.

Haciendo unas cuántas pruebas es fácil darse cuenta de que para cualquier otro exponente distinto de $5$, en general, no coinciden las últimas cifras de ambas cantidades.

Vamos a justificar esta popiedad. Sabemos que todo número natural $1\le a \le 10^n$ (siendo $n$ un número natural), puede expresar como desarrollo en serie de potencias de base $10$ de la forma $\displaystyle a=\left(\sum_{i=1}^{n-1}\,\alpha_i\,10^i\right)+u$, donde $u$ es el dígito menos significativo por el que estamos interesados (el de las unidades), y los $\{\alpha_i\}_{i=1}^{n-1}$ representa el conjunto del resto de dígitos del desarrollo. Factorizando la base de las potencias, $10=2\cdot 5$, el desarrollo anterior se escribe de la forma $\displaystyle a=\left( \sum_{i=1}^{n-1}\,\alpha_i\,(2\cdot 5)^i \right)+u=\left(\sum_{i=1}^{n-1}\,\alpha_{i}^{'} \,5^i\right)+u$, donde $\alpha_{i}^{'}=2\,\alpha_i$ para cada $i=1,\ldots,n-1$; por consiguiente, $u \equiv a\,(\text{mod}\,5) \overset{\text{(por el pequeño teorema de Fermat)}}{=}a^5 \,(\text{mod}\,5)$   $\diamond$.

Un ejemplo sencillo de aplicación del pequeño teorema de Fermat para calcular una potencia de base $a$ (número natural) y de exponente $p$ (número primo) como clase de resto (congruencia) módulo $p$

Queremos calcular el resto de la división euclídea de $8^7$ entre $7$. Sabemos, por el pequeño teorema de Fermat, que $a^p \equiv a \,(\text{mod}(p)$ si $p$ es primo; entonces, como $7$ es un número primo ($p=:7$), y $a=:8$, se tiene que $8^7 \equiv 8 \, (\text{mod}\,7)=1 \, (\text{mod}\,7)\, \because\, 8 \equiv 1 \, (\text{mod}\,7)$   $\diamond$.

El teorema de Euler-Fermat tiene un papel relevante en matemática discreta (teoría de números)

Preliminar:

Recordemos, para empezar, que dos números enteros positivos $a,b$ son coprimos si el máximo común divisor de dichos números es $1$, y lo notamos de la froma $\text{mcd}(a,b)=1$ (de manera más compacta: $(a,b)=1$); así, por ejemplo, $12$ y $35$ son coprimos, pues $(12,35)=1$. Por otra parte, la función $\varphi$ de Euler (o función indicatriz de Euler) de un número natural, $n$, que escribimos de la forma $\varphi(n)$ proporciona el número de números naturales menores o iguales que $n$ que son coprimos con $n$, esto es, $\varphi(n)=|\{m \in \mathbb{N}: m\le n\,\wedge\,(m,n)=1\}|$, donde $|.|$ designa el cardinal del conjunto (entre llaves). Así, por ejemplo, $\varphi(24)=8$ ya que $|\{1,5,7,11,13,17,19,23\}|=8$.

A efectos prácticos, y para evitar tener que escribir la lista de todos los divisores del número en cuestión que son coprimos con dicho número para contarlos uno a uno, es muy útil la siguiente fórmula para calcular el valor de la función indicatriz de Euler para dicho número: $\displaystyle \varphi(n):=n\,\prod_{p_i|n}\,\left(1-\dfrac{1}{p_i}\right)$; siendo $\{p_i\}$, el conjunto de números primos que dividen a $n$.

Otro ejemplo de cálculo de la función indicatriz de Euler: $\varphi(75)$

Teniendo en cuenta que los divisores primos de $75$ son $3$ y $5$, puesto que $75=3\cdot 5^2\cdot 3$, se tiene que, de acuerdo con la definición, $\varphi(75)=75\cdot \left(1-\dfrac{1}{3}\right)\,\left( 1- \dfrac{1}{5}\right)=75\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{4}{5}=40$

Teorema (de Euler-Fermat):

Vamos a recordar ahora lo que se afirma en dicho teorema, si bien no reproduciré aquí la demostración: $a^{\varphi(n)}$ es congruente con $1$ módulo $n\in \mathbb{N}$, para todo número $a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ tal que éste y $n$ sean coprimos, esto es, en esas condiciones, el resto de la división euclídea de $a^{\varphi(n)}$ entre $n$ es igual a $1$; y, exprasado de una manera más compacta, $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \,(\text{mod}\; n)\,\forall a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}: (a,n)=1$.

Ejemplo:

Consideremos, por ejemplo, $a=:6$ y $n=:5$, entonces, como se cumple que $(6,5)=1$, por el teorema se tiene que $6^{\varphi(5)}=6^4=1296 \equiv 1 (\text{mod}\,5)$, lo cual es fácilmente comprobable: al dividir $1296$ entre $5$ se obtiene cociente igual a $259$ y, como debe ser, resto igual a $1$.

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Comentario:

Otro resultado muy importante en el cálculo con congruencias (clases de resto) es el pequeño teorema de Fermat, que dice así: dado un número entero positivo $a$ y un número primo $p$, tales que $(a,p)=1$ ($a$ y $p$ son coprimos), entonces $a^{p-1} \equiv 1 \,(\text{mod}\;p)$   (1). Dicho sea de paso que, sin necesidad de que $a$ y $p$ sean coprimos, se llega también a la siguiente afirmación $a^p \equiv a\,(\text{mod}\,p)$; en efecto, $a^{p-1} \equiv 1 \,(\text{mod}\;p) \therefore a\cdot a^{p-1}=a^p \equiv a\cdot 1 \,(\text{mod}\;p) = a\,(\text{mod}\;p)$   (2).

Ejemplos

1. Veamos un ejemplo para el resultado (1): consideremos $a=:5$ y $p=:3$ ($5,3)=1$), entonces $5^{3-1}=5^2=25 \equiv \,(\text{mod}\; 3)$
2. Veamos un ejemplo para el resultado (2): sea $a=:7$ y $p=:3$ (ahora, $(6,3) = 1$), entonces $7^{3}=343 = 1 \equiv \,(\text{mod}\; 3)$; en efecto, el resto de la división euclídea de $343$ entre $3$ es igual a $1$. Formulado el resultado del pequeño teorema de Fermat como (2), y aunque $(a,p)\, \not| 1$, se puede comprobar que se verifica (tal como se demuestra arriba): consideremos, por ejemplo, $a=:6$ y $p=:3$ — observemos que, en este caso, $(6,3) \neq 1$ —, entonces $6^{3}=216 = 0 \equiv \,(\text{mod}\; 3) = 6 \equiv \,(\text{mod}\; 3)$; en efecto, el resto de la división euclídea de $216$ entre $3$ es $0$, como también es $0$ el resto de la división de $6$ entre $3$.

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La función indicatriz de Euler, el teorema de Euler-Fermat y el pequeño teorema de Fermat

La función indicatriz de Euler

La función indicatriz de Euler es muy importante en teoría de números. La función indicatriz de Euler de un número entero positivo $m$, y se escribe $\varphi(m)$, proporciona el número de números enteros positivos, menores o iguales que $m$, que son coprimos con $m$. En el lenguaje matemático: $\varphi(m):=\text{cardinal}\left(\{n\in \mathbb{N}: (1\le n \le m) \wedge \text{m.c.d.}(m,n)=1\}\right)$. Se demuestra que dicha cantidad es igual a $\displaystyle \varphi(m):=m\,\prod_{p_i|m}\,\left(1-\dfrac{1}{p_i}\right)$; siendo $\{p_i\}$, el conjunto de números primos que dividen a $m$. Así, por ejemplo $\varphi(9)=9\cdot \left(1-\dfrac{1}{3}\right)=9\cdot \dfrac{2}{3}=6$; en efecto, el conjunto de números naturales que cumplen la condición requerida es $\{1,2,4,5,7,8\}$, y, claro está que $\text{cardinal}\left(\{1,2,4,5,7,8\}\right)=6$

El teorema de Euler-Fermat

La función indicatriz de Euler-Fermat aparece por ejemplo en el teorema de Euler-Fermat: Si $a,m \in \mathbb{N}$ son primos relativos, esto es, $\text{m.c.d.}(a,m)=1)$, entonces $a$ es congruente con $1$ módulo $m$: $a^{\varphi(m)} \equiv 1 (\text{mod}\, m)$, y es de gran importancia en el cálculo de congruencias.

El pequeño teorema de Fermat

El teorema de Euler-Fermat generaliza el pequeño teorema de Fermat. El pequeño teorema de Fermat dice así: dado un número $p$, primo, y un número entero $a$, siendo $a$ y $p$ coprimos, esto es $\text{m.c.d.}(a,p)=1$, entonces $a^{p-1}\equiv 1 (\text{mod}\, p)$, afirmación que es equivalente a $a^p ≡ a (\text{mod}\, p)$. Por ejemplo, si $p=3$ y $a=4$, se tiene que el residuo de la división euclídea de $a^p=4^{3-1}=16$ entre $3$ es $1$, como debe ser; esto es, el residuo de la división $4^3=64$ entre $3$ es igual a $4$.

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Observación. Una consecuencia de este teorema es la siguiente: Como al dividir $a^{p-1}$ entre $p$ se obtiene resto igual a $1$, existe un $k\in \mathbb{Z}$ para el cual $a^{p-1}=k\, p +1$, multiplicando por $a$ en cada miembro de la igualdad, se tiene que $a^{p}= k \,p \,a + a$, luego $a^{p} - a$ es múltiplo de $p$ puesto que $k\,a$ és también un número entero.

Ejemplo. Sea $a=9$ y $p=2$ (primo), siendo $(9,2)=1$ y cumpliéndose así las condiciones suficientes del teorema. Comprabamos, en efecto, que $a^p=9^2=81 \mod 2 = 1$, coincidiendo con $a=9 \mod 2 =1$; y, además, $a^p-a \in (\overset{.}{p})$ pues $81-8=72 \in (\overset{.}{2})$.

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Cálculo con congruencias (clases de resto módulo m)

Notación:
Designaremos un número entero con una letra minúscula
Denotamos el máximo común divisor de $m$ y $n$ por $(m,n)$
Para expresar que $a$ divide a $b$ ( $b$ es múltiplo de $a$ ), escribiremos $a|b$ ( con lo cual notaremos $b=\dot{a}$ )

Lema (de Bézout)
Sea $d=(m,n)$, entonces se puede encontrar una combinación $a\,m+b\,n$ tal que $$d \,| \,(a\,m+b\,n)$$

Definición ( $a$ congruente con $a$ módulo $m$ )
Sea $m$ un entero no negativo. Decimos que $a=b\, \text{mod} \, m$ ( o también $a\equiv b\, (\text{mod} \, m)$ ) si y sólo si $m \,| \,(b-a)$

Pequeño teorema de Fermat
Sea $a$ un número entero no negativo y $p$ primo, tales que $a \neq \dot{p}$, entonces $a^{p-1} = 1 \;( \,\text{mod}\, p)$

Otra forma de enunciar el Pequeño Teorema de Fermat
Sea $a$ un número entero no negativo y $p$ primo, entonces $a^p = a \; ( \,\text{mod}\, p)$