Algunos cálculos rutinarios de raíces de números complejos

1. ¿$\sqrt{1-i}$? El argumento de la raíz cuaddrada es $1-i=\sqrt{2}\,e^{-i\,\frac{\pi}{4}}$, entonces $s=\sqrt{2}$ y $\beta=\dfrac{\pi}{4}$, con lo cual la solución viene dada por dos valores (el índice del radical es $2$) $$w_k=\sqrt{s}\;e^{i\,\dfrac{\beta+2\,\pi \cdot k}{2}}\;; k=0,1$$ esto es, $\displaystyle \left\{\begin{matrix} w_0=\sqrt{\sqrt{2}}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{4}+2\,\pi \cdot 0)}{2}}=2^{1/4}\,e^{-i\,\pi/8}\\ w_1=\sqrt{\sqrt{2}}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{4}+2\,\pi \cdot 1)}{2}}=2^{1/4}\,e^{i\,\frac{7}{8}\,\pi}\end{matrix}\right.$
2. ¿$\sqrt[3]{-8}$? El argumento de la raíz cúbica es $-8=8\,e^{i\,\pi}$, luego $s=8$ y $\beta=\pi$, por lo tanto la solución consta de tres valores (el índice del radical es $3$): $$w_k=\sqrt[3]{s}\;e^{i\,\dfrac{\beta+2\,\pi \cdot k}{3}}\;; k=0,1,2$$ es decir, $\displaystyle \left\{\begin{matrix} w_0=\sqrt[3]{8}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{3}+2\,\pi \cdot 0)}{2}}=2\,e^{i\,\frac{\pi}{3}}\\ w_1=\sqrt[3]{8}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{3}+2\,\pi \cdot 1)}{2}}=2\,e^{i\,\pi}\\ w_2=\sqrt[3]{8}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{3}+2\,\pi \cdot 2)}{2}}=2\,e^{i\,\frac{5}{3}\,\pi}\end{matrix}\right.$

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