Aritmética modular

Sean $x,y,n \in \mathbb{Z}$, tales que $|x| \le |n|$ e $|y| \le |n|$, consideremos, en $\mathbb{Z}$, la siguiente relación de equivalencia:
    $x \,\mathcal{E}\, y \Leftrightarrow \text{resto}(x \div n)=\text{resto}(y \div n)$
que también se puede expresar de otras formas equivalentes
    $x \,\mathcal{E}\, y \Leftrightarrow n | (x-y)$     ( n es divisor de $x-y$ )
    $x \,\mathcal{E}\, y \Leftrightarrow (x-y)=\dot{n}$     ( $x-y$ es un múltiplo de $n$ )
Es sabido que una relación de equivalencia induce en un conjunto ( en $\mathbb{Z}$, en nuestro caso ) una partición en clases de equivalencia. El conjunto de estas clases se denomina conjunto cociente $\mathbb{Z}/\mathcal{E}$. En el caso que nos ocupa, podemos decir que, para un determinado $n \in \mathbb{Z}$, todos los números enteros mayores en valors absoluto que $\left|n\right|$, tales que al dividirlos por $n$, se obtenga resto con valor $r_i$, pertenecen a una misma clase de equivalencia $\left[r_i\right]$ ( donde $i=0,1,2, \ldots, n-1$ y $0 \le r_i \le n-1 $ ).

Designaremos por $\mathbb{Z}/n$ al conjunto cociente ( conjunto de las clases ) inducido por la relación de equivalencia descrita; también se conoce dicho conjunto cociente como conjunto de las clases de resto módulo $n$. Dichas clases, pues, corresponden a cada uno de los posibles restos, es decir:

    $\mathbb{Z}/n=\{\left[0\right]_{n},\left[1\right]_{n},\left[2\right]_{n},\ldots,\left[n-1\right]_{n}\}$

Por lo tanto, dado un determinado número entero $n$ ( módulo ), diremos que un número entero $x$ pertence a la clase de resto   $\left[r_i\right]_{n}$   si y sólo si $\text{resto}(x \div n)=r_i$ ( y recordemos que $0 \le r_i \le n-1 $ con $i=0,1,2,\ldots,n-1$ ).

Así, podemos decir que dos números enteros $x$ e $y$ son congruentes módulo $n$, y se escribe $x \equiv y (n)$, si y sólo si ambos números pertenecen a la misma clase de resto ( se obtiene el mismo resto en las divisiones $x \div n$ e $y \div n$ ).

Hay un par de propiedades bàsicas muy interesantes que dan origen al cálculo con clases de resto ( o cálculo de congruencias ). Son las siguientes.
Dados $a,b,n \in \mathbb{Z}$ tales que $\left|a\right|\le n$ y $\left|b\right|\le n$, y dadas las congruencias ( equivalencias por clases de resto) $a \equiv a^{'} (n)$ y $b \equiv b^{'} (n)$, entonces:
    i) $a + b \equiv a^{'}+b^{'} (n)$
    ii) $a \cdot b \equiv a^{'}\cdot b^{'} (n)$

Una famosa aplicación del cálculo con congruencias es la llamada prueba del nueve, con la que se puede verificar el resultado de las operaciones más costosas realizadas a mano, una multiplicación o de una división, por ejemplo. Se elige el nueve como módulo del cálculo por razones de eficiencia en las propios cálculos de comprobación. Tengamos en cuenta que, antes de la aparición de las máquinas calculadoras, este tipo de pruebas facilitaban la comprobación de largos cálculos. Veamos algún ejemplo, aunque con números no muy grandes, para no cansar al lector.
Nota: En realidad, un resultado satisfactorio en la comprobación de un cálculo no garantiza, de hecho, la absoluta certeza del resultado de éste, puesto que podrían haberse dado errores que se compensaran mutuamente.

1) Caso de una multiplicación:
    $46 \cdot 68 = 3128 \quad \quad (1)$
Comprobación:
$46\equiv 1 (9)$
$68\equiv 5 (9)$
y, de acuerdo con las propiedades,
$46 \cdot 68 \equiv 1 \cdot 5 (9)$
            $\equiv 5 (9)$
y, por otro lado,
    $3128 \equiv 5 (9)$
luego la operación (1) queda comprobada

1) Caso de una división:
    $3468 \div 124 \rightarrow q=27 \quad \quad r=120 \quad \quad (2)$
Comprobación:
$3468\equiv 3 (9)$
$124\equiv 7 (9)$
$27\equiv 0 (9)$
$120\equiv 3 (9)$
Para efectuar la comprobación de los cálculos, vamos a ver si se cumple el teorema de la división euclidiana, operando con las congruencias:
Si
$3468 = 124 \cdot 27 +120$
entonces, con las congruencias, debe cumplirse que
$3 = 7 \cdot 0 + 3$
lo cual es cierto y, por consiguiente, damos por comprobada la operación (2).
$\square$