Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de coeficientes homogéneos

Recordemos que llamamos ecuación diferencial ordinaria a una ecuación que relaciona la variable independiente $x$, la función incógnita $y=y(x)$ —dependiendo de una sola variable—, y sus derivadas $y',y'',\ldots,y^{(n)}$ mediante la función $F(x,y,y',\ldots,y^{(n)})=0$. Se denomina orden de la ecuación diferencial al de la derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuación.

Se considera una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, con dos variables, $F(x,y,y')=0$ (forma general), siendo $y=y(x)$ la función incógnita. Supondremos que de la forma general es posible despejar $y'$, por lo que la ecuación diferencial explicitada según la derivada puede escribirse de la forma $y'(x)=f(x,y)$. Recordemos que, si $f(x,y)$ es un a función continua en un recinto $\mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^2$ y admite derivada parcial $\dfrac{\partial\,f}{\partial\,y}$ continua con respecto a $x$ e $y$ en el recinto $\mathcal{D}$, entonces el teorema de existencia y unicidad asegura que existe una solución (única) $y=\varphi(x)$ de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial $y(x_0)=y_0$. Encontrar la solución que satisface esa condición inicial dada lleva el nombre de problema de Cauchy; y, desde el punto de vista geométrico, significa encontrar la curva integral en el dominio $\mathcal{D}\subset \mathbb{R}^2$ que pasa por un punto dado de dicho dominio.

Recordemos que una funcion $\varphi(x,y)$ se dice homogénea de grado $n$ si $\varphi(\lambda\,x,\lambda\,y)=\lambda^n\,\varphi(x,y) \;\forall \lambda\gt 0$ y $\forall\, x,y\in \mathbb{R^2}\,$. Diremos que, en las condiciones expuestas arriba, una EDO es homogénea en el caso de que $f(\lambda\,x,\lambda\,y)=f(x,y)$, esto es si $f(\lambda\,x,\lambda\,y)=\lambda^0\,f(x,y) \; \forall \, \lambda \in \mathbb{R}$, es decir, si es una función homogénea de grado $0$.

Además, si dicha ecuación puede expresarse de la forma $P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0\;\;\; (1)$, donde $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ sean funciones homogéneas del mismo grado, entonces la ecuación diferencial dada se convierte en una ecuación diferencial de variables separables mediante el cambio de variable $y:=x\,u$, donde $u$ es función de $x$.

Ejemplo:

Sea la EDO de primer orden $y'(x)=\dfrac{x+y(x)}{x}$ (por lo que, aquí, $f(x,y)=\dfrac{x+y(x)}{x}$). Notemos que $f(\alpha\,x,\alpha\,y)=\dfrac{\alpha\,x+\alpha\,y}{\alpha\,x}=\dfrac{\alpha\,(x+y(x))}{\alpha\,x}=\dfrac{x+y(x)}{x}=\alpha^0\cdot \dfrac{x+y(x)}{x}=f(x,y)$, luego al ser $f(x,y)$ una función homogénea, la ecuación propuesta es una EDO de coeficientes homogéneos.

Intentemos expresarla tal como está escrita en (1), para ello, la reescribimos de la forma $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+y(x)}{x}$; de ello, fácilmente se obtiene que $(x+y)\,dx+(-x)\,dy=0$, con lo cual $P(x,y):=x+y$ y $Q(x,y):=-x$. Observemos que estas funciones son homogéneas de grado $1$; en efecto, $P(\lambda\,x,\lambda\,y)=\lambda\,x+\lambda\,y=\lambda\,(x+y)=\lambda^1\,P(x,y)$, y $Q(\lambda\,x,\lambda\,y)=\lambda\,(-x)=\lambda^1\,Q(x,y)$.

Estamos en condiciones de realizar el cambio de variable indicado para expresar la EDO de partida (ecuación con coeficientes homogéneos) como una EDO de variables separables. Entonces, haciendo pues dicho cambio de variables, $y(x)=x\cdot u(x)$, se tiene que $y'(x)=u(x)+x\,u'(x)$; por otra parte, el segundo miembro de la ecuación diferencial se expresará ahora de la forma $\dfrac{x+y(x)}{x}=\dfrac{x+x\,u(x)}{x}=1+u(x)$. Así, la ecuación diferencial nos queda reescrita de la forma $u(x)+x\,u'(x)=1+u(x)$, esto es $x\,u'(x)=1$, que es lo mismo que $x\,\dfrac{u(x)}{dx}=1$, luego $du(x)=\dfrac{dx}{x}$.

Integrando en ambos miebros: $\displaystyle \int\,du(x)=\int\,\dfrac{dx}{x}+C$, con lo cual, $u(x)=\ln\,x+C$. Y, finalmente, deshaciendo el cambio de variable: $u(x)=\dfrac{y(x)}{x}\, \therefore y=x\,(\ln\,x+C)$, que es la estructura de la solución general. $\diamond$

-oOo-

Referencias

  [1] R. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón S.A., Barcelona, 1978.
  [2] A. Kiseliov, M. Krasnov, G. Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuarta edición, Mir, Moscú, 1984.
  [3] C. G. Lambe, C. J. Tranter, Ecuaciones diferenciales, UTEHA, México D.F., 1964.
  [4] M. Cordero, M. Gómez, Ecuaciones diferenciales ordinarias, García Maroto Editores, Madrid, 2010.
  [5] F. Ayres, Ecuaciones diferencials, McGraw-Hill (Shaum), México D.F., 1992.