Resolución de una EDO de primer orden lineal

Vamos a resolver EDO primer orden que es lineal: $\mathcal{E}:\,y'+y=x$

Resolvamos, primero, la ecuación homogénea: $\mathcal{E}_H:\,y_H'+y_H=0$:
  $\dfrac{dy_H}{dx}=-y$
    $\dfrac{dy_H}{y}=-dx$
      $\displaystyle \int\,\dfrac{dy_H}{y_H}=\int\,-dx+\text{constante}$
        $\displaystyle \int\,\dfrac{dy_H}{y_H}=\int\,-dx+\ln\,C$
        $\displaystyle \int\,\dfrac{dy_H}{y_H}=\int\,-dx+\ln\,C$

          $\displaystyle \ln\,y_H=-x+\ln\,C$
            $\displaystyle \ln\,y_H-\ln\,C=-x$
              $\displaystyle \ln\,\left(\dfrac{y_H}{C}\right)=-x$
                $\displaystyle \dfrac{y_H}{C}=e^{-x}$
                  $\displaystyle y_H=C\,e^{-x}$

A continuación, vamos a encontrar la solución general de la ecuación pedida $\mathcal{E}$ a partir de la solución de la $\mathcal{E}_H$, empleando el método de variación de la constante partiendo de $y:=C(x)\,e^{-x}$

Sustituyendo en la ecuación diferencial $y=C(x)\,e^{-x}\;\;\;(1)$ y su derivada $y'=C'(x)\,e^{-x}-C(x)\,e^{-x}$, se llega a $C'(x)\,e^{-x}-C(x)\,e^{-x}+C(x)\,e^{-x}=x$, y simplificando:
  $C'(x)\,e^{-x}=x$
    $\dfrac{dC(x)}{dx}=x\,e^{x}$
      $dC(x)=x\,e^{x}\,dx$
        $\int\,dC(x)=\int\,x\,e^{x}\,dx+\text{constante}$
          $C(x)=e^x\,(x-1)+\overset{\sim}{C}$ (he integrado el segundo término por el método de por partes).
Finalmente, sustituyendo este resultado en (1), obtenemos la solución general pedida:
  $y=\left(e^x\,(x-1)+\overset{\sim}{C}\right)\,e^{-x}$
    $y=e^x\cdot e^{-x}(x-1)+\overset{\sim}{C}\,e^{-x}$
      $y=e^0\,(x-1)+\overset{\sim}{C}\,e^{-x}$
        $y=x+\overset{\sim}{C}\,e^{-x}-1\,\,\forall \overset{\sim}{C}\in \mathbb{R}$. $\diamond$

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Referencias

  [1] R. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón S.A., Barcelona, 1978.
  [2] A. Kiseliov, M. Krasnov, G. Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuarta edición, Mir, Moscú, 1984.
  [3] C. G. Lambe, C. J. Tranter, Ecuaciones diferenciales, UTEHA, México D.F., 1964.
  [4] M. Cordero, M. Gómez, Ecuaciones diferenciales ordinarias, García Maroto Editores, Madrid, 2010.
  [5] F. Ayres, Ecuaciones diferencials, McGraw-Hill (Shaum), México D.F., 1992.