Vamos a resolver EDO primer orden que es lineal: $\mathcal{E}:\,y'+y=x$
Resolvamos, primero, la ecuación homogénea: $\mathcal{E}_H:\,y_H'+y_H=0$:
$\dfrac{dy_H}{dx}=-y$
$\dfrac{dy_H}{y}=-dx$
$\displaystyle \int\,\dfrac{dy_H}{y_H}=\int\,-dx+\text{constante}$
$\displaystyle \int\,\dfrac{dy_H}{y_H}=\int\,-dx+\ln\,C$
$\displaystyle \int\,\dfrac{dy_H}{y_H}=\int\,-dx+\ln\,C$
$\displaystyle \ln\,y_H-\ln\,C=-x$
$\displaystyle \ln\,\left(\dfrac{y_H}{C}\right)=-x$
$\displaystyle \dfrac{y_H}{C}=e^{-x}$
$\displaystyle y_H=C\,e^{-x}$
A continuación, vamos a encontrar la solución general de la ecuación pedida $\mathcal{E}$ a partir de la solución de la $\mathcal{E}_H$, empleando el método de variación de la constante partiendo de $y:=C(x)\,e^{-x}$
Sustituyendo en la ecuación diferencial $y=C(x)\,e^{-x}\;\;\;(1)$ y su derivada $y'=C'(x)\,e^{-x}-C(x)\,e^{-x}$, se llega a $C'(x)\,e^{-x}-C(x)\,e^{-x}+C(x)\,e^{-x}=x$, y simplificando:
$C'(x)\,e^{-x}=x$
$\dfrac{dC(x)}{dx}=x\,e^{x}$
$dC(x)=x\,e^{x}\,dx$
$\int\,dC(x)=\int\,x\,e^{x}\,dx+\text{constante}$
$C(x)=e^x\,(x-1)+\overset{\sim}{C}$ (he integrado el segundo término por el método de por partes).
Finalmente, sustituyendo este resultado en (1), obtenemos la solución general pedida:
$y=\left(e^x\,(x-1)+\overset{\sim}{C}\right)\,e^{-x}$
$y=e^x\cdot e^{-x}(x-1)+\overset{\sim}{C}\,e^{-x}$
$y=e^0\,(x-1)+\overset{\sim}{C}\,e^{-x}$
$y=x+\overset{\sim}{C}\,e^{-x}-1\,\,\forall \overset{\sim}{C}\in \mathbb{R}$. $\diamond$
Referencias
[1] R. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón S.A., Barcelona, 1978.[2] A. Kiseliov, M. Krasnov, G. Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuarta edición, Mir, Moscú, 1984.
[3] C. G. Lambe, C. J. Tranter, Ecuaciones diferenciales, UTEHA, México D.F., 1964.
[4] M. Cordero, M. Gómez, Ecuaciones diferenciales ordinarias, García Maroto Editores, Madrid, 2010.
[5] F. Ayres, Ecuaciones diferencials, McGraw-Hill (Shaum), México D.F., 1992.
