Conjuntos en los que definimos una relación de orden

Consideremos un conjunto $B$ contenido en otro conjunto $A$ en el que hay definida una relación de orden $\prec$. Pues bien, es sabido que ésta induce una relación de orden en $B$, de tal manera que:

Si $m\in A$ precede a todos los elementos de $B$, decimos que $m$ es un elemento minorante de $B$; y, si existen más elementos en $A$ que, como $m$, también preceden a todos los elementos de $B$, hablamos entonces del conjunto de los minorantes de $B$. Al último elemento de los minorantes de $B$ (la mayor de las cotas inferiores de $B$) se le denomina ínfimo de $B$, y en el caso de que dicho ínfimo pertenezca también a $B$, diremos que es el elemento mínimo de $B$.

Si $M\in A$ es precedido por todos los elementos de $B$, decimos que $M$ es un elemento mayorante de $B$; y, si existen más elementos en $A$ que, como $M$, también son precedidos por todos los elementos de $B$, hablamos entonces del conjunto de los mayorantes de $B$. Al primer elemento de los mayorantes de $B$ (la menor de las cotas superiores) se le denomina supremo de $B$, y en el caso de que dicho supremo pertenezca también a $B$, diremos que es el elemento máximo de $B$.

La relación binaria $x|y$ en $\mathbb{N}$ es una relación de orden

Se considera la siguiente relación binaria: $$x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x | y\,\forall\,x,y\in \mathbb{N}$$¿Es una relación de orden? (el símbolo $x|y$ denota que $x$ divide a $y$)

Para que sea una relación de orden la relacion binaria propouesta debe cumplir las siguientes tres condiciones: i) reflexiva ii) antisimétrica y iii) transitiva. Veamos que se cumplen las tres (para cada una, solamente probaré a condición necesaria, pues la suficiente es evidente):

i) Es reflexiva: Para todo $x\in \mathbb{N}$ se tiene que $x=1\cdot x=x$, luego $x|x$ y por tanto $x\mathcal{R}x$. $\diamond$

ii) Es antisimétrica: Si $x\mathcal{R}y$, entonces $x|y \Rightarrow$ eixiste un número $m\in \mathbb{N}$ tal que $y=m\,x$; y si $y\mathcal{R}x$ entonces $y|x \Rightarrow$ existe un número $n\in \mathbb{N}$ tal que $x=m\,y$ luego $y=m\cdot n\,y$ y por tanto $m\cdot n=1 \Rightarrow m=1$ y $n=1$, y en consecuencia $y=x$. $\diamond$

iii) Es transitiva: Si $x\mathcal{R}y$, entonces $x|y \Rightarrow$ eixiste un número $p\in \mathbb{N}$ tal que $y=p\,x$; y si $y\mathcal{R}z$ entonces $z|y \Rightarrow$ existe un número $q\in \mathbb{N}$ tal que $z=q\cdot y$ luego $z=q\cdot p\,x$ y por tanto, como $q\cdot p=:k\in \mathbb{N}$, $z=k\,x \Rightarrow x|z$ con lo cual $x\mathcal{R}z$. $\diamond$