Resumen sobre el tema de sucesiones infinitas de números reales

Definición 1:
  Una sucesión infinita de números reales es una función cuyo dominio és $\mathbb{N}$

Definición 2:
  Una sucesión $(a_n)$ converge hacia $l$ ( que se representa simbólicamente de la forma $\lim_{n \rightarrow \infty}\,a_n =l$ ) si para todo número real $\epsilon \in \mathbb{R}^{+}$ existe un número natural $n_0$ (que depende de $\epsilon$ ) tal que, para todo número natural $n \ge n_0$, entonces $\left|a_{n}-l\right|$<$ \epsilon$

Teorema 0:
  Si una sucesión $(a_n)$ converge, su límite $l$ es único.

Teorema 1:
  Sea $f$ una función definida en un intervalo abierto que contiene a $c$, con $\lim_{x \rightarrow c}\,f(x) =l$. Y supóngase que $\{a_n\}$ es una sucesión que cumple:
    i) cada $a_n$ pertenece al dominio de $f$
    ii) $\forall n \in\mathbb{N}\;, \; a_n \ne c $
    iii) $\lim_{n \rightarrow \infty}\,a_{n}=c$
Entonces la sucesión $\{f(a_n)\}$ converge a $l$ ( $\lim_{n \rightarrow \infty}\,f(a_n)=l$ ).
Y, recíprocamente, si esto se cumple para toda sucesión $(a_n)$
que satisfaga las condiciones mencionadas, entonces se cumple $\lim_{x \rightarrow c}\,f(x)=l$

Teorema 2:
Si $(a_n)$ es una sucesión no decreciente y es acotada superiormente [o bien, si una   sucesión $\{a_n\}$ es no creciente y es acotada inferiormente ] entonces la sucesión converge.

Lema 1:    [1]
  Cualquier sucesión $\{a_n\}$ contiene una subsucesión que es o bien no creciente o bien no decreciente

Teorema 4 (de Bolzano-Weierstrass):    [2]
  Toda sucesión acotada contiene una subsucesión convergente.

Definición 3:
  Una sucesión $(a_n)$ es una s. de Cauchy si para todo $\epsilon \in \mathbb{R}^{+}$ existe un número natural $n_0$ tal que, para todo par $m,n \in \mathbb{N}$, si $m,n$<$N$, entonces $| a_m-a_n | \prec \epsilon$.

Teorema 5:
  Una sucesión $(a_n) \subset \mathbb{R}$ ( un s. de números reales ) converge si y sólo si es una s. de Cauchy.     [3]

Observaciones y comentarios:

[1] Un lema és una propiedad que sirve para aproximarse a la demostración de un teorema

[2] El teorema de Bolzano-Weierstrass suele enunciarse y demostrarse empleando la noción de punto de acumulación. Un punto $x$ se dice que es un p. de acumulación de un conjunto $A$ si para todo $\epsilon \in \mathbb{R}^{+}$ existe un punto $a$ en $A$ tal que $|x-a|$<$\epsilon \; \forall \; a \ne x$.

En topologia, un conjunto se dice que es cerrado si contiene a todos sus puntos de acumulación.


[3] Si una sucesión $(a_n) \subset \mathbb{Q}$ (tiene su recorrido en el cuerpo de números racionales) cabe hacer hincapié en que, si bien se pueda asegurar que siendo convergente es una s. de Cauchy, ésta no és necesariamente convergente en el cuerpo $\mathbb{R}$; por ello se dice que el cuerpo de los números racionales $\mathbb{Q}$ no es un cuerpo completo, a diferencia del de los números reales que sí lo es. Sin embargo, se demuestra (es facil) que toda s. convergente también és una s. de Cauchy.

[4] Propiedades de una sucesión de Cauchy:
  1. Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy
  2. Toda sucesión de Cauchy es acotada
  3. Criterio de convergencia: Una sucesión de números reales es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy. Por ello se dice que el conjunto de los números reales es un espacio métrico completo (a diferencia del conjunto de los números racionales)


Referencias:
SPIVAK, M., Calculus, Reverté, Barcelona, 1991