Dos ejercicios de grupos conmutativos (abelianos)

Ejercicio 1.
ENUNCIADO. Demostrar que si todo elemento, $a$, de un grupo $G$ cumple que $a^2=1$ ( es simétrico de sí mismo ), entonces dicho grupo es abeliano ( conmutativo ).

SOLUCIÓN. Sean $a,b \in G$, entonces existe otro elemento $c$ del grupo tal que $ab=c$, que, desde luego cumple $c^2=1$; es decir, $c=c^{-1}$. Así, podemos escribir $$ab=(ab)^{-1}$$ y como $$(ab)^{-1}=b^{-1}\,a^{-1}$$ tenemos que $$ab=b^{-1}\,a^{-1}$$ ahora bien, $b=b^{-1}$ y $a=a^{-1}$, con lo cual $$ab=ba$$ que es a lo que queríamos llegar. $\square$



Ejercicio 2.
ENUNCIADO. Demuéstrese que todo grupo de cuatro elementos es abeliano.

SOLUCIÓN. Debemos distinguir dos casos:
i) Si todo elemento es simétrico de sí mismo, estamos en la situación del problema anterior y, por tanto, ya se ha demostrado que el grupo es abeliano.
ii) Si existe algún elemento, pongamos que $a$, que no sea simétrico de sí mismo, es decir, $a^2 \neq 1$, entonces $o(\langle a \rangle) \neq 2$. Por lo tanto, del teorema de Lagrange ( el orden de $\langle a \rangle $ debe ser un divisor del orden del grupo, que es $4$, sólo caben dos posibilidades: $o(\langle a \rangle)=1$ o bien $o(\langle a \rangle)=4$; la primera posibilidad queda descartada, pues como $a \neq 1$, $o(\langle a \rangle) \succ 1$; así que sólo cabe aceptar la segunda posibilidad, luego $o(\langle a \rangle)=o(G)=4$ y por tanto $G$ es cíclico, luego $G$ es abeliano. $\square$