¿Qué es un grupo simple finito?¿Cómo se clasifican?

Un grupo algebraico es un conjunto de elementos en el que se define una operación interna que cumple las siguiens propiedades: i) asociativa, ii) existencia de elemento neutro, iii) cada elemento del grupo tiene asociado un elemento opuesto con respecto de la operación definida (en el sentido de que dicho elemento operado con su opuesto es igual al elemento neutro); además, si se cumple la propiada conmutativa, diremos que el grupo en cuestión es abeliano (o conmutativo). Cuando el número de elementos de que consta el grupo es finito decimos que el número de elementos de que consta es finito. Pero, ¿a qué nos referimos cuando hablamos de grupos simples (además de finitos)?¿Cómo se clasifican?.

    Sabido es que todo número natural puede descomponerse de manera única en un conjunto de números naturales, más pequeños, llamados primos por no poder a su vez descomponerse en otros más sencillos; así que podemos ver a los números primos como los materiales primigenios de construcción de los números naturales. Tomando esta idea (véase [4]), ¿podrían ciertos grupos finitos, con determinadas características (véase [1]), llamados simples, descomponerse también en un conjunto de grupos más « sencillos »? Pues bien, la respuesta es sí. Los grupos simples, por tanto, son suceptibles de una clasificación (teorema de clasificación, véase [2]): ¿cuántos tipos de grupos simples finitos hay?.

Desde 1955 los algebristas se lanzaron a estudiar las posibles estructuras de dichos grupos finitos simples, y esa tarea monumental fue completada, arduamente, en 2004. Gracias a este gran esfuerzo colectivo se sabe que todo grupo finito simple es: o bien cíclico, o bien alternante, o de una cierta clase de grupos de Lie (los grupos de Lie son de gran importancia en Física) — hay $18$ familias de infinitos de tales grupos (véase [1]) —; o bien es considerado « anómalo », por tratarse de alguno de los $27$ grupos que no encajan en dichas familias, razón por la cual reciben el nombre de grupos (simples finitos) esporádicos. Por cierto, se sabe que el grupo finito simple esporádico más grande tiene casi $10^{54}$ elementos, y por ello, se le llama el Monstruo (véase [3]).

-oOo- Referencias:
  [1] Wikipedia, https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_simple
  [2] Wikipedia, https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_clasificación_de_grupos_simples
  [3] Wikipedia, https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_monstruo
  [4] Freiberger, M.; Thomas, R., Matemáticas. Cien conceptos, Librero, Madrid, 2020

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Dos ejercicios de grupos conmutativos (abelianos)

Ejercicio 1.
ENUNCIADO. Demostrar que si todo elemento, $a$, de un grupo $G$ cumple que $a^2=1$ ( es simétrico de sí mismo ), entonces dicho grupo es abeliano ( conmutativo ).

SOLUCIÓN. Sean $a,b \in G$, entonces existe otro elemento $c$ del grupo tal que $ab=c$, que, desde luego cumple $c^2=1$; es decir, $c=c^{-1}$. Así, podemos escribir $$ab=(ab)^{-1}$$ y como $$(ab)^{-1}=b^{-1}\,a^{-1}$$ tenemos que $$ab=b^{-1}\,a^{-1}$$ ahora bien, $b=b^{-1}$ y $a=a^{-1}$, con lo cual $$ab=ba$$ que es a lo que queríamos llegar. $\square$



Ejercicio 2.
ENUNCIADO. Demuéstrese que todo grupo de cuatro elementos es abeliano.

SOLUCIÓN. Debemos distinguir dos casos:
i) Si todo elemento es simétrico de sí mismo, estamos en la situación del problema anterior y, por tanto, ya se ha demostrado que el grupo es abeliano.
ii) Si existe algún elemento, pongamos que $a$, que no sea simétrico de sí mismo, es decir, $a^2 \neq 1$, entonces $o(\langle a \rangle) \neq 2$. Por lo tanto, del teorema de Lagrange ( el orden de $\langle a \rangle $ debe ser un divisor del orden del grupo, que es $4$, sólo caben dos posibilidades: $o(\langle a \rangle)=1$ o bien $o(\langle a \rangle)=4$; la primera posibilidad queda descartada, pues como $a \neq 1$, $o(\langle a \rangle) \succ 1$; así que sólo cabe aceptar la segunda posibilidad, luego $o(\langle a \rangle)=o(G)=4$ y por tanto $G$ es cíclico, luego $G$ es abeliano. $\square$

Grupoide, parte estable de un grupoide, semigrupo, y grupo

Grupoide:
Dado un conjunto $A$ con una operación $\star$ diremos que $(A,\star)$ tiene estructura de grupoide si dicha operación es interna, es decir, si
    $\star: A \times A \rightarrow A$

Parte estable de un grupoide:
Dado un subconjunto $B \subset A$ ( siendo $(A,\star)$ un grupoide ) diremos que si para todo par $(x,y) \in B \times B$ se tiene que $x \star y \in B$ resulta que la operación con una operación $*$ induce una operación en $B$ (que representaremos con el mismo signo $\star$ que la dada para $A$), entonces $B \subset A$ es una parte estable de $A$ .

Relación de equivalencia compatible con la operación del grupoide:
Dado un grupoide $(A,\star)$ y una relación de equivalencia $\mathcal{E}$ definida en el conjunto $A$, se dice que $\mathcal{E}$ es compatible con la operación $\star$ del grupoide si:
$\left.\begin{matrix}x \;\mathcal{E}\; x^{'}\\\\y\;\mathcal{E}\; y^{'}\end{matrix}\right\}\Rightarrow x \star y \; \mathcal{E} \; x^{'} \star y^{'}$

Semigrupo:
Dado un grupoide $(A,\star)$ tal que $\star$ cumple la propiedad asociativa, entonces lo llamamos semigrupo. Si, además, cumple la propiedad conmutativa, entonces decimos que es un semigrupo conmutativo. Y si posee elemento neutro ( $e \in A$ tal que $\forall a \in A$ se cumple que $e \star a = a \star e = a$ ), hablamos entonces de un semigrupo con elemento neutro $e$. Por ejemplo, $(\mathbb{N},+)$ es un semigrupo conmutativo con elemento neutro (que es el $0$)

Grupo:
Dado un semigrupo con elemento neutro $(A,\star)$, diremos que si para cada $a \in A$ existe un elemento simétrico $a^{'}$ tal que $a^{'} \star a = a \star a^{'}=e$, entonces $(A,\star)$ tiene estructura de grupo. Si además se cumple la propiedad conmutativa para todo par $a,b \in A$, se puede hablar de un grupo conmutativo o abeliano.

Observación: Si bien $(\mathbb{N},+)$ es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, no es un grupo ya que no existe simétrico para un número natural que no sea el propio neutro. Sin embargo, el semigrupo conmutativo con elemento neutro $(\mathbb{Z},+)$ sí es un grupo, ya que todo número entero tiene elemento opuesto (simétrico) para la suma.