Grupoide, parte estable de un grupoide, semigrupo, y grupo

Grupoide:
Dado un conjunto $A$ con una operación $\star$ diremos que $(A,\star)$ tiene estructura de grupoide si dicha operación es interna, es decir, si
    $\star: A \times A \rightarrow A$

Parte estable de un grupoide:
Dado un subconjunto $B \subset A$ ( siendo $(A,\star)$ un grupoide ) diremos que si para todo par $(x,y) \in B \times B$ se tiene que $x \star y \in B$ resulta que la operación con una operación $*$ induce una operación en $B$ (que representaremos con el mismo signo $\star$ que la dada para $A$), entonces $B \subset A$ es una parte estable de $A$ .

Relación de equivalencia compatible con la operación del grupoide:
Dado un grupoide $(A,\star)$ y una relación de equivalencia $\mathcal{E}$ definida en el conjunto $A$, se dice que $\mathcal{E}$ es compatible con la operación $\star$ del grupoide si:
$\left.\begin{matrix}x \;\mathcal{E}\; x^{'}\\\\y\;\mathcal{E}\; y^{'}\end{matrix}\right\}\Rightarrow x \star y \; \mathcal{E} \; x^{'} \star y^{'}$

Semigrupo:
Dado un grupoide $(A,\star)$ tal que $\star$ cumple la propiedad asociativa, entonces lo llamamos semigrupo. Si, además, cumple la propiedad conmutativa, entonces decimos que es un semigrupo conmutativo. Y si posee elemento neutro ( $e \in A$ tal que $\forall a \in A$ se cumple que $e \star a = a \star e = a$ ), hablamos entonces de un semigrupo con elemento neutro $e$. Por ejemplo, $(\mathbb{N},+)$ es un semigrupo conmutativo con elemento neutro (que es el $0$)

Grupo:
Dado un semigrupo con elemento neutro $(A,\star)$, diremos que si para cada $a \in A$ existe un elemento simétrico $a^{'}$ tal que $a^{'} \star a = a \star a^{'}=e$, entonces $(A,\star)$ tiene estructura de grupo. Si además se cumple la propiedad conmutativa para todo par $a,b \in A$, se puede hablar de un grupo conmutativo o abeliano.

Observación: Si bien $(\mathbb{N},+)$ es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, no es un grupo ya que no existe simétrico para un número natural que no sea el propio neutro. Sin embargo, el semigrupo conmutativo con elemento neutro $(\mathbb{Z},+)$ sí es un grupo, ya que todo número entero tiene elemento opuesto (simétrico) para la suma.