Algunos ejercicios con números complejos

Enunciado:
Demostrar que siendo $z=\cos \,w \Leftrightarrow w=\arccos z$, entonces
  $\arccos\,z = -i \, \ln\big( z+i\,\sqrt{z^2-1}\big)$

Solución:
De la fórmula de Euler
    $e^{i\,w}=\cos\,w+i\,\sin\,w$
y teniendo en cuenta que
  $z=\cos\,w$
y que, por la identidad fundamental de la trigonometria
  $\sin\,w=\sqrt{1-z^2}$
tendremos
    $e^{i\,\arccos\,z}=z+i\,\sqrt{1-z^2}$
y, sacando logaritmos en cada miembro, podremos escribir
    $i\,\arccos\,z=\ln \big(z+i\,\sqrt{1-z^2}\big)$
de donde
    $\arccos\,z=\dfrac{1}{i}\,\ln \big(z+i\,\sqrt{1-z^2}\big)$
que es igual a
    $\arccos\,z=-i\,\ln \big(z+i\,\sqrt{1-z^2}\big)$
$\square$

Enunciado:
Demostrar que siendo $z=\sin \,w \Leftrightarrow \arcsin z$, entonces
  $\arcsin\,z = -i \, \ln\big( \sqrt{1-z^2}+i\,z\big)$

Solución:
De la fórmula de Euler
    $e^{i\,w=\cos\,w+i\,\sin\,w}$
y teniendo en cuenta que
  $w=\arcsin\,z$
además de la identidad fundamental de la trigonometria
  $\sin^2\,w+\cos^2\,w=1$
tendremos
    $e^{i\,\arcsin\,z}=\sqrt{1-\sin^2\,w}+i\,\sin\,w$
y habida cuenta de que $\sin\,w=z$,
    $e^{i\,\arcsin\,z}=\sqrt{1-z^2\,w}+i\,z$
sacando logaritmos en cada miembro podremos escribir
    $i\,\arcsin\,z=\ln \big(\sqrt{1-z^2}+i\,z\big)$
de donde
    $\arcsin\,z=\dfrac{1}{i}\,\ln \big(\sqrt{1-z^2}+i\,z\big)$
que es igual a
    $\arcsin\,z=-i\,\ln \big(\sqrt{1-z^2}+i\,z\big)$

Nota: Siguiendo procedimientos similares se puede demostrar también que $\text{arctan}\,z=-\dfrac{i}{2}\,\ln\,\left( \dfrac{1+iz}{1-iz} \right)$ y $\text{arccotan}\,z=-\dfrac{i}{2}\,\ln\,\left( \dfrac{z+i}{z-i} \right)$

$\diamond$