El problema del pastís

Considerem un pastís de forma circular i suposem que tallem una part del pastís en forma de sector circular de tal manera que aquesta representi $\displaystyle \frac{1}{k}$ del total ($k>1$). Tot seguit, imaginem que tallem un altre sector circular que representi la meitat del primer. I, així successivament infinites vegades (idealització matemàtica). Quin valor ha de tenir $k$ per tal que, al final, tinguem tot el pastís fet a trossos i de tal manera que l'últim tall coincideixi amb el primer ?

Observem que es tracta de fer la suma d'una sèrie geomètrica de raó igual a $\displaystyle \frac{1}{2}$, el primer terme de la qual és $\displaystyle \frac{1}{k}$ i d'infinits termes, per tant es complirà que la suma dels infinits termes sigui igual a $1$, és a dir:
$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( \frac{1}{k}\cdot \frac{(\frac{1}{2})^n-1}{\frac{1}{2}-1}\Big)=1$$ Com que el valor del límit és igual a $\displaystyle \frac{2}{k}$, tindrem que $$\displaystyle \frac{2}{k}=1$$ i, per tant, $k=2$. Caldrà que comencem, doncs, tallant la meitat del pastís. $\square$