Un ejercicio de demostración por contradicción: "el límite de una sucesión convergente és único"

Enunciado:
Demostrar que toda sucesión de números reales convergente tiene límite único.

Planteamiento:
Designamos con la letra $q$ a la proposición: una sucesión de números reales dada és convergente; y, con la letra $p$, la proposición: el límite de una sucesión convergente és único. Pretendemos probar que $p$ es cierta. Para ello, decidimos utilizar la ley de reducción al absurdo, que dice lo siguiente:
$\neg p \wedge (q \wedge \neg q ) \Rightarrow p \quad \quad \quad (*)$

Resolución:
La proposición $q$ viene de la propia definición de límite de una sucesión de números reales: $a_n$ tiende a $l_1$ ( cuando $n \rightarrow \infty$ ) si, para un número real $\epsilon$, podemos encontrar un $n_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ de tal forma que $\forall n \ge n_{\epsilon}$ se cumpla que
$\left| l_1 - a_n \right| < \epsilon$. De la definición de sucesión convergente se sigue que $\left| l_1 - a_n \right| = \left| l_1 - l_2 + l_2 - a_n \right| \ge \left| l_1 - l_2 \right| - \left| l_2 - a_n \right| \quad \quad (1)$

Démonos cuenta ahora que, sin perdida de generalidad, podemos escoger el siguiente valor para $\epsilon$
            $\epsilon = \dfrac{\left| l_1 - l_2 \right|}{2}$
A continuación, vemos - de (1) - que
            $\left| l_1 - a_n \right| \ge 2\,\epsilon - \epsilon$
és decir
            $\left| l_1 - a_n \right| \ge \epsilon$
que significa que la sucesión no converge a $l_1$, y, por tanto, se obtiene $\neg q$

Por consiguiente, llegamos (en este punto del razonamiento) a una contradicción, puesto que se da $q \wedge \neg q$

Y, habida cuenta de la ley (*), queda demostrada la proposición $p$

$\square$