Cálculo de límites con GNU MAXIMA

Uso de MAXIMA como ayuda para detectar la no existencia del límite global de una función real de una variable real en un punto dado. Un ejemplo

Un ejercicio de demostración por contradicción: "el límite de una sucesión convergente és único"

Enunciado:
Demostrar que toda sucesión de números reales convergente tiene límite único.

Planteamiento:
Designamos con la letra $q$ a la proposición: una sucesión de números reales dada és convergente; y, con la letra $p$, la proposición: el límite de una sucesión convergente és único. Pretendemos probar que $p$ es cierta. Para ello, decidimos utilizar la ley de reducción al absurdo, que dice lo siguiente:
$\neg p \wedge (q \wedge \neg q ) \Rightarrow p \quad \quad \quad (*)$

Resolución:
La proposición $q$ viene de la propia definición de límite de una sucesión de números reales: $a_n$ tiende a $l_1$ ( cuando $n \rightarrow \infty$ ) si, para un número real $\epsilon$, podemos encontrar un $n_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ de tal forma que $\forall n \ge n_{\epsilon}$ se cumpla que
$\left| l_1 - a_n \right| < \epsilon$. De la definición de sucesión convergente se sigue que $\left| l_1 - a_n \right| = \left| l_1 - l_2 + l_2 - a_n \right| \ge \left| l_1 - l_2 \right| - \left| l_2 - a_n \right| \quad \quad (1)$

Démonos cuenta ahora que, sin perdida de generalidad, podemos escoger el siguiente valor para $\epsilon$
            $\epsilon = \dfrac{\left| l_1 - l_2 \right|}{2}$
A continuación, vemos - de (1) - que
            $\left| l_1 - a_n \right| \ge 2\,\epsilon - \epsilon$
és decir
            $\left| l_1 - a_n \right| \ge \epsilon$
que significa que la sucesión no converge a $l_1$, y, por tanto, se obtiene $\neg q$

Por consiguiente, llegamos (en este punto del razonamiento) a una contradicción, puesto que se da $ q \wedge \neg q $

Y, habida cuenta de la ley (*), queda demostrada la proposición $p$

$\square$

Enunciado:
Calcúlese el siguiente límite:
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}}$

Resolución:
Podemos simplificar algo la expresión de la forma
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2\cdot 2^{n}+3\cdot 3^{n}}{2^{n}+3^{n}}$

Observemos que al pasar al límite nos encontramos con una indeterminación del tipo $\infty / \infty$
Para resolverla dividiremos el numerador y el denominador por $3^{n}$. Con ello tendremos
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2\,\big(\frac{2}{3}\big)^n+3}{\big(\frac{2}{3}\big)^n+1}$
Y, puesto que la base de las potencias es menor que $1$, volviendo a pasar al límite obtenemos el siguiente resultado
$\dfrac{2\cdot 0+3}{0+1}=3$
$\square$