¿Qué es un grupo simple finito?¿Cómo se clasifican?

Un grupo algebraico es un conjunto de elementos en el que se define una operación interna que cumple las siguiens propiedades: i) asociativa, ii) existencia de elemento neutro, iii) cada elemento del grupo tiene asociado un elemento opuesto con respecto de la operación definida (en el sentido de que dicho elemento operado con su opuesto es igual al elemento neutro); además, si se cumple la propiada conmutativa, diremos que el grupo en cuestión es abeliano (o conmutativo). Cuando el número de elementos de que consta el grupo es finito decimos que el número de elementos de que consta es finito. Pero, ¿a qué nos referimos cuando hablamos de grupos simples (además de finitos)?¿Cómo se clasifican?.

    Sabido es que todo número natural puede descomponerse de manera única en un conjunto de números naturales, más pequeños, llamados primos por no poder a su vez descomponerse en otros más sencillos; así que podemos ver a los números primos como los materiales primigenios de construcción de los números naturales. Tomando esta idea (véase [4]), ¿podrían ciertos grupos finitos, con determinadas características (véase [1]), llamados simples, descomponerse también en un conjunto de grupos más « sencillos »? Pues bien, la respuesta es sí. Los grupos simples, por tanto, son suceptibles de una clasificación (teorema de clasificación, véase [2]): ¿cuántos tipos de grupos simples finitos hay?.

Desde 1955 los algebristas se lanzaron a estudiar las posibles estructuras de dichos grupos finitos simples, y esa tarea monumental fue completada, arduamente, en 2004. Gracias a este gran esfuerzo colectivo se sabe que todo grupo finito simple es: o bien cíclico, o bien alternante, o de una cierta clase de grupos de Lie (los grupos de Lie son de gran importancia en Física) — hay $18$ familias de infinitos de tales grupos (véase [1]) —; o bien es considerado « anómalo », por tratarse de alguno de los $27$ grupos que no encajan en dichas familias, razón por la cual reciben el nombre de grupos (simples finitos) esporádicos. Por cierto, se sabe que el grupo finito simple esporádico más grande tiene casi $10^{54}$ elementos, y por ello, se le llama el Monstruo (véase [3]).

-oOo- Referencias:
  [1] Wikipedia, https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_simple
  [2] Wikipedia, https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_clasificación_de_grupos_simples
  [3] Wikipedia, https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_monstruo
  [4] Freiberger, M.; Thomas, R., Matemáticas. Cien conceptos, Librero, Madrid, 2020

$\square$

Propiedades de la matriz adjunta de un matriz dada

Dada una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ ( $A \in \mathcal{M}_{n \times n}$ ) se define su matriz adjunta de la siguiente forma
    $\text{adj}(A)=(\alpha_{ij})^t$
donde $\alpha_{ij}$, que se denomina cofactor de $a_{ij}$, se calcula de la forma
$\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\,M_{ij}$   siendo $M_{ij}=\det(A_{ij})$ el menor complementario que se obtiene suprimiendo de $A$ la fila i-ésima y la columna j-ésima.

Propiedades: Si $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$, entonces
$\text{adj}(AB)=\text{adj}(A)\,\text{adj}(B)$
$\text{adj}(A \pm B)\neq \text{adj}(A)\pm \text{adj}(B)$
$\text{adj}(A^m)=\big(\text{adj}(A)\big)^m$
$\text{adj}(I)=I$
$\text{adj}(A^t)=(\text{adj}(A))^t$
$A\,\text{adj}(A)=\text{adj}(A)\,A=\det(A)\cdot I$
$\text{adj}\big(\text{adj}(A)\big)=\big(\det(A)\big)^{n-2}\, A$
$\text{adj}(\lambda\,A)=\lambda^{n-1}\,\text{adj}(A)$
$\det(A)=\dfrac{1}{n}\,\text{tr}(A\,\text{adj}(A)$
$\det\big(\text{adj}(A)\big)=\det\big(A^{n-1}\big)$

Propiedad: Cálculo del determinante desarrollando por los adjuntos de una fila
$\det(A)=\sum_{j=1}^{n}\,a_{kj}\,\alpha_{kj}\quad \forall k=1,2,\ldots, n$

Propiedad: Cálculo del determinante desarrollando por los adjuntos de una columna
$\det(A)=\sum_{i=1}^{n}\,a_{ik}\,\alpha_{ik}\quad \forall k=1,2,\ldots, n$

Propiedad: Cálculo de la matriz inversa de una matriz no singular a partir de la la matriz adjunta
$A^{-1}=\dfrac{\text{adj}(A)}{\det(A)}$

Propiedad:
$\text{adj}(A^{-1})=\big(\text{adj}(A)\big)^{-1}$

    [matrices con MAXIMA]

Relaciones de equivalencia. Espacio vectorial cociente

Relación de equivalencia:
Dado un conjunto $E$, se define en él una relación binaria de equivalencia $\mathcal{E}$, cumpliendo por tanto las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva ). Pues bien, dicha relación de equivalencia determina una partición de $E$, cuyas partes se llaman clases de equivalencia y, recíprocamente, cualquier partición de $E$ establece una relación de equivalencia en $E$.

Dada $\mathcal{E}$ ( una r. de e. en $E$ ), se llaman clase de equivalencia de un elemento $w \in E$, y se designa por $[w]$, al cojunto de elementos que se relacionan con $w$ mediante $\mathcal{E}$, és decir
    $[w]=\{x \in E \, | \, x \,\mathcal{E}\, w \}$

Las clases de equivalencia cumplen las siguientes propiedades:
  a) Dados $x,y \in E$, $x \, \mathcal{E} \, \text{y} \, \Leftrightarrow [x]=[y]$
  b) Dados $x,y \in E$, $x \; \text{no es equivalente a}\; y \Leftrightarrow [x]\cap [y] = \emptyset$
  c) $\displaystyle \cup_{x \in E} [x]=E$

Relación de equivalencia asociada a una aplicación entre dos conjuntos:
Dada una aplicación   $f: A\rightarrow B$, se define la relación binaria tener la misma imagen por la aplicación ( que es de equivalencia ). Esta relación de equivalencia $\mathcal{E}$ se denomina equivalencia asociada a la aplicación y, por tanto, podemos afirmar que dados $x,y \in A$, $x \, \mathcal{E}\, y \Leftrightarrow f(x)=f(y)$.

    Teorema:   Dada una aplicación   $f: E\rightarrow E^{'}$ y la relación de equivalencia asociada, se demuestra que la aplicación $f$ puede descomponerse en tres aplicaciones:
        $f=i \circ b \circ e$
de tal forma que
          $e:E \rightarrow E/\mathcal{E}$   ($e$ es exhaustiva)
          $b: E/\mathcal{E} \rightarrow Im(E)$   ( tal que $b([x])=f(x)$ es biyectiva )
          $i: Im(E) \rightarrow E^{'}$   ( tal que $i\big(f(x)\big)=f(x)$ es inyectiva )
[esquema]


Espacio vectorial cociente:

Sea $(E,+,\cdot)$ un e.v. sobre un cuerpo conmutativo $K$, y sea $\mathcal{E}$ una relación de equivalencia definida en $E$ que sea compatible con la estructura de e.v. sobre $k$.

Por ser $(E,+)$ grupo abeliano, dicha relación de equivalencia debe ser del tipo
$x \, \mathcal{E} \, y \Leftrightarrow x-y \in F$, para todo par $x,y \in E$, donde $F$ es un subgrupo del grupo abeliano $(E,+)$. Siendo, además, $\mathcal{E}$ también compatible con la operación externa producto por escalares, se tiene que $x \, \mathcal{E} \, y \Leftrightarrow \lambda \cdot x \,\, \mathcal{E} \,\, \lambda \cdot y \; \;\forall \lambda \in K$. Entonces, como $\lambda \cdot x - \lambda \cdot y \in F \Leftrightarrow \lambda \cdot (x-y) \in F$, $F$ es un e.v. de $E$.
[Nota: cualquier $z \in F$ puede considerarse como la diferencia de dos vectores $x$ e $y$ equivalentes, ya que elegido un $x \in E$ arbitrario, basta tomar $y=x-z$ ]

Se comprueba que, dado $(E,+,\cdot)$ y dado $F \subset E$, un subespacio vectorial de $E$, la estructura $(E/\mathcal{E},+,\cdot)$ es un e.v. que se denomina espacio vectorial cociente y ser representa por $(E/F,+,\cdot)$ debido a que la relación de equivalencia $\mathcal{E}$ distingue al subespacio vectorial $F$.