Subespacios vectoriales (ejemplos)

Enunciat:
Considereu l'espai afí $(\mathbb{R}^3, O, \mathcal{B})$ on:
    $\mathbb{R}^3$ és l'espai vectorial estàndard sobre el cos $\mathbb{R}$
    L'origen de coordenades $O$ és el punt de coordenades $(0,0,0)$
    La base $\mathcal{B}$ escollida de l'espai vectorial $\mathbb{R}^3$ està formada pels vectors
            $\{e_1=1,0,0,e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)\}$
                ( que es la base estàndard o canònica).
Determineu l'equació implícita (o e. general) del pla que passa pels punts $P(1,0,0)$, $Q(0,1,0)$ i $R(0,0,1)$


  Comentari:   Les projeccions d'aquest pla sobre els plans $Oxy$, $Oxz$ i $Oyz$, són rectes que formen angles de 45º amb els eixos respectius.

Solució:
L'equació implícita del pla
    $A\,x+B\,y+C\,z+D=0$
que passa per tres punts donats
    $P(x_P,y_P,z_P)$, $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ i $R(x_R,y_R,z_R)$
ve donada per
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ x_P&y_P &z_P &1 \\ x_Q&y_Q &z_Q &1 \\ x_R&y_R &z_R &1 \end{vmatrix}=0$
que, amb les dades donades, es concreta així
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=0$
Per calcular el determinant d'ordre $4$ desenvoluparem pels adjunts de la primera columna
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=x\,\begin{vmatrix} 0&0 &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} y&z &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}=x-(1-y-z)$
                                                                              $=x+y+z-1$

Per tant el pla $\pi_{PQZ}$ ve descrit per l'equació (e. general del pla):

    $\pi_{PQZ}:\;\; x+y+z-1=0$

Nota:   Observem que si fem les projeccions del pla sobre els tres plans $Oxy$ ( fent $z=0$ ), $Oyz$ ( fent $x=0$ ) i $Oxz$ ( fent $y=0$ ) obtenim, respectivament, les rectes:
    $x+y=1$, és a dir, la recta $y=-x+1$ ( en el pla $Oxy$ )
    $z+y=1$, és a dir, la recta $z=-y+1$ ( en el pla $Oyz$ )
    $x+z=1$, és a dir, la recta $z=-x+1$ ( en el pla $Oxz$ )
$\square$

Ecuaciones implícitas y ecuaciones paramétricas de un subespacio vectorial

Cosiderar un subespacio vectorial $V=L \left[(1,0,-1),(1,-1,0)\right] \subset \mathbb{R}^3$. Demostrar que el sistema de generadores dado es una base de $V$. Encontrar las ecuaciones implícitas que definen el subespacio $V$. Encontrar tambíen las ecuaciones paramétricas del subespacio.

Solución:
Veamos si los vectores dados son linealmente independientes
    $\alpha \,(1,0,-1) + \beta\,(1,-1,0)=(0,0,0)$
Se comprueba que $\alpha=\beta=0$ y, por tanto, son linealmente independientes. Como, además, los dos vectores dados constituyen un sistema de generadores, forman una base de $V$, que tendrá dimensión $2$.

Para encontrar las ecuaciones implícitas basta tener en cuenta que cualquier otro vector de coordenadas $(x_1,x_2,x_3)$ será por tanto c.l. de los dos vectores de la base dada, con lo cual teniendo en cuenta la matriz $A$ (que tiene por columnas las coordenadas de los vectores)
      $A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & -1 \\-1 & 0 \\\end{pmatrix}$
      $\text{rg}\begin{pmatrix}1 & 1 & x_1\\ 0 & -1 & x_2 \\-1 & 0 & x_3\\\end{pmatrix}=2$
Por tanto, tomando un menor complementario de orden $2$ no nulo como
      $\begin{vmatrix}1 &1 \\ 0 &-1 \\\end{vmatrix} \neq 0$
y haciendo la única (en este caso) ampliación pertinente, su determinante deberá ser nulo ( recordemos que la dimensión es $2$ ), es decir,
      $\begin{vmatrix}1 &1 & x_1\\ 0 &-1 & x_2\\ -1 &0 & x_3\\ \end{vmatrix}=0$
Calculando este determinante, obtenemos un sistema de ecuaciones implícitas que consta, en este caso, de una sola ecuación ( ver II.Ejemplo 7.17, p.169):
      $V:\;\; x_1+x_2+x_3=0$

Vamos a encontrar ahora las ecuaciones paramétricas de $V$ (II.7.16,p.166). Para ello tan solo tenemos que concretar el sistema de ecuaciones
      $\displaystyle x_i=\sum_{j=1}^{2}\,a_{ji}\,\lambda_j \quad ( i = 1,2,3 )$
es decir
    $\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\x_3\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & -1 \\-1 & 0 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2\\\end{pmatrix}$
en otras palabras
    $V:\,\left\{\begin{matrix}x_1&=&\lambda_1 &+ &\lambda_2 \\ x_2&=& & &-\lambda_2 \\ x_3&=&-\lambda_1 & & \\ \end{matrix}\right.$
$\square$